应用结构力学的探索与实践

王艺霖，范夕森，李广宁，王顺尧

(山东建筑大学 土木工程学院 建筑结构加固改造与地下空间工程教育部重点实验室，山东 济南 250101)

结构力学的主要内容来源为工程实践及日常生活。[1]经典的结构力学文献基于学术化、简明化的考虑，往往在理论建立、方法介绍，以及例题展示中直接采用了简化后的各种力学模型(如杆件、铰支座、刚结点、简支梁等)和相关专业术语[2-4]，在实现严谨的同时也给应用型技术人员造成了一些理解障碍，影响到具体应用水平的提升。[5]对初学者来说，也容易感到抽象，难以与应用场景对应[6-8]，在相当程度上影响到学习兴趣和效果。

目前王永正等[9]、刘文龙[10]、罗昊宇[11]已从多角度进行了结构力学与应用实例结合起来的尝试，相关成果成为传统力学文献的有益补充。本文将沿此思路挖掘实际场景中常见的结构力学实例，从八个方面展现力学知识的实用性与有效性。

1 “简而广之”的简支梁(板)

简支梁(板)是结构力学中反复出现的一类结构，工程上也经常采用大型简支梁(板)结构。从几何形态来看，板其实就是一种很扁宽的梁。但值得注意的是，其实它们在日常生活中的应用也很广泛。

1.1 普通简支梁(板)

常见的限行杆，很多一端为理想的铰接，另一端被立杆支撑、限制竖直向下的移动。在它静止不动时，基本上符合简支梁的计算简图(虽然从构造上来说它的右端可以竖直向上移动，但在静止时不会发生)，如图1所示。

图1 限行杆与简支梁

如果俯视图2所示的这类被锁上的大铁门，可以发现，每一扇门其实也可以近似为简支板，合页处为铰接端，限制了两个方向的平动，但不限制转动；被锁端仅限制了垂直于纸面方向的平动，相当于单链杆支撑，见图2、图3。

图2 锁上的大铁门 图3 关闭的窗户

类似地，图3这种关闭的窗户，每一扇窗也可认为是简支板，合页处为铰接端；被锁端也相当于单链杆支撑。

健身器材中常见的单杠也可以近似为简支梁结构，因为两端都不能完全限制转动。如果在中间等间隔地设置了两个抓手(图4)，当有人伸出胳膊分别抓住它们并悬挂起自己的时候，则计算简图也可近似为两个三分点处各作用一个集中荷载的简支梁。

图4 近似为两个三分点处各作用一个集中荷载的简支梁

湖北省武汉市有个著名的小吃街——户部巷。在巷口有个图5所示的入口式结构，该结构上部的水平梁也可近似为一个简支梁结构，在三个四分点处都悬挂了一个编钟式物体，可认为给水平梁加上了竖向的集中荷载。因此，整个水平梁的计算简图可近似为，三个四分点处各作用一个集中荷载的简支梁。当然，如果考虑自重的话，还需要增加自重对应的均布荷载。

图5 湖北武汉户部巷的入口结构

1.2 伸臂简支梁(板)

生活中常见的木质棚架结构(图6)，一般在支撑点处也不能完全限制水平梁的转动，所以可近似认为是伸臂简支梁结构。

图6 木质棚架结构

舞蹈或形体学员所用的单杠(图7a)，也是这类伸臂简支梁结构。支撑处的特写如图7b所示，可见，确实是允许发生转动的。

图7 单杠

2 “望文生义”的悬臂梁

悬臂梁是物如其名的。人伸出的手臂，就是“悬臂梁”的直白表现。但悬臂梁的含义及应用还是很丰富的。

如图8，雕像垂直向下的头发是相对于地面悬臂的；伸出去的小提琴及支撑于它的琴弓，都是悬臂的；左、右两只手，都是悬臂的，所以这里共有5个悬臂式部件。

图8 某雕像

如果想确定一个在自由端部受集中荷载的悬臂梁的弯矩方向，可拿个重物(如哑铃)后伸直手臂即可(如图9)。显然，上臂端部的上部区域肌肉将被张紧，说明弯矩的方向是截面上部受拉。

图9 抓举哑铃的悬臂 图10 空调外机的支撑架

悬臂梁在常见荷载类型作用下的内力图也可在生活中找到应用。如图10所示的空调外机的支撑架，这种三角形外形的选择，依据是悬臂梁在均布荷载作用下的弯矩图(抛物线形，近似于三角形)和剪力图(就是三角形)。这种基于内力特征进行的设计，兼顾了安全性与经济性(比等截面的情况节省材料)，也易于加工。

类似地，对于图11所示雨蓬的支撑梁，也是根据悬臂梁在竖向荷载作用下的内力图，结合加工方便性来确定的变截面形式。至于梁内的开洞，可以结合材料力学中的平截面假定来理解，在某一横断面上，弯矩的存在会使得上、下部区域一个受拉、一个受压，在截面的中部高度区域，应力很小，所以可在此区域开洞，以达到节约材料、减轻自重的效果。

图11 某雨蓬

3 “繁而有理”的连续梁

简支梁和悬臂梁都属于静定结构，可以直接用力的平衡、力矩平衡条件求解内力。而连续梁由于有多余支撑，属于超静定结构，内力的计算就复杂很多，需要用到力法、位移法等。但为什么连续梁也应用很多呢？因为在同等条件下，它的内力要明显小于静定梁，所以计算上的麻烦还是可以接受的。

图12所示窗帘杆是生活中常见的物品，可以近似地按连续梁结构进行分析。

图12 某窗帘杆

图13所示为某校门，可近似为三跨伸臂连续梁结构。当上面坐满同学时，相当于受满布均布荷载的情况，可用常规的“力法”快速求解出内力。同时可思考一个问题：如果去掉中间的那两个支撑，让它近似成为伸臂简支梁结构的话，这个梁是更安全还是更危险？

图13 某校门

根据结构力学中简支梁与连续梁的受力特征对比可知，这样会更危险。因为在荷载情况一样的情况下，由于多余支撑带来的负弯矩效应，连续梁的内力是要明显小于简支梁的。相比连续梁来说，简支梁很简单好算，但受力的合理性要差一些，往往不够经济。

4 “拉下神坛”的二力杆

对于两端均为铰接的杆件，两个端部都不能承受弯矩，杆内只能有拉、压两种轴力，所以称为二力杆。这一概念比较专业，吓到了一些初学者，但其实在生活中也可以找到很多二力杆接地气的实例。例如，图14所示的老式窗户上用的支撑件就属于两端铰接的二力杆。

图14 老式窗户上用的支撑件

5 “大肚能容”的桁架

桁架的大多数杆件都可近似为二力杆，材料利用很充分，所以整体的承载效率非常高。在大跨结构、高层结构中，广泛采用了桁架。仔细观察的话，日常生活中也不乏实例。如图15所示的登机廊桥，就属于是典型的桁架结构，登机的乘客都从它的内部通过。下次您坐飞机的时候，记得关注一下这种“大肚能容”的桁架哈。

图15 某登机廊桥

6 “俯仰可用”的影响线

影响线也是结构力学的一个重要概念，针对的是结构受移动荷载作用的情况。很多初学者容易觉得影响线主要用于有车辆荷载的结构，生活中用的相对较少，但其实在日常生活中也有很多可用影响线方法进行分析的实例。

对于图16所示的石凳，也可认为是伸臂简支梁结构，当有人要坐上去的时候，具体的位置可能是随机的，此时也可以用影响线方法来分析石凳的最不利工况：对于这种结构，最关心的内力应该是跨中处的弯矩，可作出其影响线，然后把人的臀部近似为有一定宽度的均布荷载，根据影响线的形状可确定石凳受这个有一定宽度的均布荷载作用时的最不利位置，也就确定了对应的人的位置，进而可得到石凳的最不利内力。如果有两三个人一起坐上去，也可以类似地确定最不利位置及相应的石凳最不利内力。

图16 某伸臂简支石凳

还有更生活化的具体例子：某处道路挖坑，铺上了木板供人行走(图17)。借助于影响线的概念，我们可以解答两个有趣的问题：

图17 临时铺设的木板路面

(1)一个人迈步走过这个木板的过程中，什么状况下木板最危险？

(2)如果一个人停在这个木板上，什么位置对应于木板最危险的情况？

解答思路：这种木板的两端不限制转动，也可认为是简支梁结构，容易发生的是受弯破坏，为此考察跨中处弯矩的影响线，可得形状为等边三角形。当考察人走动过程时，可认为是两个间距一定的集中荷载(对应于人的两只脚，如图17中的短箭头所示)，由影响线方法知，当其中一只脚踩在木板的跨中处时，为最不利位置。当考察人停下来的时候，可认为两只脚合并为一个大的集中荷载(如图17中的长箭头所示)，由影响线方法知，当人的两只脚都踩在木板的跨中处时，为最不利位置。

7 “重载不曲”的薄钢板

某路面为了埋设暖气管道挖了一个大坑，然后铺上了钢板供车辆和行人通行(图18)。由图可见，钢板的厚度很小、跨度挺大，但即使有卡车通过，它也没有发生明显的弯曲变形。为什么？

图18 临时铺设的钢板路面

这个问题对应于结构力学中的位移计算知识(基础是虚功原理)。这个钢板的两端同样不限制转动，可近似为简支梁。高跨比显然很小，不属于深梁，因此可忽略剪切变形，主要考虑弯曲变形。对弯曲变形的抵抗能力即为抗弯刚度EI(E为材料的弹性模量，I为截面的惯性矩)，这里的EI到底大不大？

这个薄钢板的截面为矩形，I可按下式计算：

(1)

式中：b为截面宽度；h为截面高度。

这里的b虽然挺大，但h很小，I和h是三次方关系，所以I肯定不大。但注意到，钢材的E值很大(2×105MPa左右)，所以抗弯刚度EI的值还是很大的，保证了薄钢板在车辆作用下也不明显弯曲。

8 “寻根固源”的石板桥加固

石板桥在园林、景区内很常见，如北京颐和园内的某石板桥如图19所示。石板本身是一次加工成型的，如果我们需要提高石板桥的载重能力，或者增大它的安全储备，该如何做？

图19 颐和园内某石板桥

根据一般的力学概念，可以换用强度更高的石板或增大石板的厚度。但操作起来都很麻烦、代价较大。

可以从边界条件这一石板的支撑本源入手。基于结构力学中两端固结梁与简支梁的内力区别可知，可以对石板两端部的转动约束情况进行加强，让它趋向于两端固结梁(如在端部布置少量锚固筋，或浇筑少量混凝土/砂浆)，这样在荷载作用下，它的最大弯矩值会显著降低，承载能力和安全性自然随之提高。从实施上来说，也相对简便很多。

9 结语

结构力学来源于实践，立足于应用。本文从简支梁(板)、悬臂梁、连续梁、二力杆、桁架、影响线、虚功原理、边界条件等八个方面介绍了结构力学重要概念与方法的实际应用场景，展现了具体应用效用，实现了结构力学概念、方法与工程实践、日常生活的有机结合，形象地展示了应用结构力学的价值与魅力。