类比结构 揭示本质 提升素养

徐玉玲

【摘要】在解题教学中，通过分析问题的结构特征，找到解决问题的方法，是帮助学生提高解题能力的有效手段。本文借助基本不等式专题复习案例，尝试通过对试题的条件和目标的结构分析，运用类比基本不等式及其变形式，解决一类双变量最值问题。并从中得出经验，将类比结构作为突破审题的一种有效方法，推广到数学解题教学中。

【关键词】基本不等式;类比结构;

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）32-071-01

1.问题提出

解题教学是数学教学的重要组成部分，是学以致用的一个重要环节。提高解题教学的效率和质量，提升学生的思维品质，发展学生的核心素养，是高中数学教学的最终目标。解题教学的开端是审题，可以说“成也审题，败也审题”，让学生学会有效地审题是解题教学成功的第一环。本文以基本不等式专题复习为例，说说“类比结构”在解题教学中第一环——审题中的运用。

2.案例分析

基本不等式的结构简单，容易模式识别，具有将“和”，“积”互化的功能，常常用于解决双变量最值问题。在解题教学中通过类比条件和目标的结构特点，找到解题的切入点，从而解决问题。

2.1和式和积式型

例1.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8 ，则x+2y最小值等于;;;.

分析：目标是“和”的结构，可以利用基本不等式把条件中的积式“x·2y”转化为和式“x+2y”，得到关于目标式的不等式。

解答：由条件并结合基本不等式得8-（x+2y）=2xy≤（;  ）2，当且仅当x=2y时取等号，整理得（x+2y）2+4（x+2y）-32≥0，解不等式得到x+2y≥4.所以x+2y最小值为4.

方法点睛：上述过程是利用基本不等式将条件式中的积式转化为关于目标式的不等式，然后通过解不等式得到目标式的最值。

2.2和式与倒数和式型

例2.已知实数x>0，y>0想x+y=1，且;+;，则的最小值是;;;;.

分析：目标是“倒数和”，本质也是“和”的结构，“见和凑积”，可条件也是“和”式。考虑到x·;=2，y·;=1，于是有了目标式和条件式相乘的思路。

解答：（;+;）·（x+y）=3+;+;≥3+2 2 ，当且仅当x2=2y2时取到等号，故;+;的最小值为3+2 2 .

方法点睛：一般在和式与倒数和的题型中都可以考虑乘以常数的方法来凑积，从而解决和的最值问题或者倒数和的最值问题。

2.3 平方和式与和式型

例3.设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值;;;;  .

分析：目标是“和”，条件中既有“平方和”，又有“积式”。为使得结构平衡，可将条件式中平方和4x2+y2凑成目标式2x+y的平方，同时将条件式中xy的改写为2xy.

解答：将4x2+y2+xy=1配方成目标式，（2x+y）2=1+3xy=1+  ·2x·y≤1+;（;;  ）2，设t=2x+y，则t2≤1+;，解得t2≤;，所以2x+y的最大值为;  .

方法点睛：上述解法中通过配方转化为和式与积式的类型，利用基本不等式将条件式的积式转化为目标式的不等式。

2.4平方和式与积式型

例4.已知实数x≥0，y≥0，满足x2+; =1，则x  1+y2的最大值为;;;; .

分析：目标是“积”，条件是“平方和”，而且因式的差别比较大，考虑将条件进行恒等变形为2x2+y2=2，目标恒等变形为x  1+y2=; （2x2）（1+y2），于是就有平方和为2x2+（y2+1）=3为定值，利用变形式求得积有最大值。

解答：由不等式（;; ）2≥ab，

得x  1+y2=; （2x2）（1+y2）≤;;;;;;=;  ，当且仅当2x2=1+y2，即当x=;  ，y=;;时取到最大值。

方法点睛：将条件和目标的结构进行类比，通过恒等变换凑和为定值使问题得以解决。

3.小结

关于基本不等式的应用，题目的形式很多，但万变不离其宗：“和”与“积”之间的不等关系.类比目标和条件，类比公式，通过配凑系数、常数代换、整体换元、平方升次数、配方、化齐次等等恒等变形的“招术”，本质上都是在围绕一个主题“凑和为定积有大，凑积为定和有小”。

4.核心素养观导向下的解题教学

4.1 重视概念 熟记公式

“数学是玩概念的。”数学的骨架就是概念，没有概念就没有数学。学数学最终为了解题，理解概念、掌握公式是展开解题的必要条件，是进行类比结构的基础。就如前面的案例中，如果学生没有掌握好公式，怎么可能进行类比结构，脑里没货，怎么可能想得出解决问题的方法呢。试题有千变万化，概念和公式只是数个个，可恰恰是利用这有限个的概念和公式去解决那么多的变化莫测的问题。重视概念、熟记公式是顺利开展解题的必备条件。

4.2重视运算 转化题设

“思维”是数学的核心，但没有正确的运算就不会产生合理的思维。少有试题可以一目了然的找到思路，总是要通过运算，将问题得以转化。在上述案例中，大部分试题都要通过配凑系数、常数代换、整体换元、平方升次数、配方、化齐次等等恒等变形的“招术”，达到凑“积定和小，和定积大”的目的。新课标也规定要求学生掌握待定系数法、换元法、配方法、分离常数法、数学归纳法等常用的数学方法，这些方法也是展开运算的依据，只有熟悉这些方法才能将题设进行转化。其实转化过程中就是不断地联想概念和公式、类比结构的过程，也是不断推进思维的过程。

4.3分析结构 突破审题

审题是解题的第一关，关注题目中式子的结构，是找到问题突破口的捷径。它能够让学生“由此及彼”和“由表及里”的找到解题思路。就如上述基本不等式专题复习中，条件和结论的形式多种多样，但只要仔细比较试题，类比大脑里存在的公式就容易找到解题思路.解题教学时强调对题目结构的分析，并配以相应的训练，是提升学生解题素养有效手段。

【参考文献】

[1]吴爱铧.探究错因，培养学生的数学核心素养.中学数学教学参考（上旬），2019.11

[2]赵银仓.揭示学科本质，发展核心素養.中学数学教学参考（上旬），2020.中学数学教学参考（上旬），1-2

[3]李世桂.细说基本不等式求最值问题的常见结构与方法.中学数学教学参考（上旬），2019.中学数学教学参考（上旬），121

作者单位

（嵊州市高级中学;浙江;嵊州;312400）