例谈高中数学直观想象核心素养的培养

胡娜

【摘要】《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了六个数学核心素养，直观想象核心素养是其中之一。文章在阐述直观想象核心素养的内涵之后，提出学生直观想象素养的培养可以从几何直观和空间想象两个方面进行，借助几何直观将不容易掌握的数学问题进行直观化与简明化;借助空间想象帮助学生认识空间几何体的结构特征，能想象空间图形之间的分解与组合，展开与折叠等。教材中的探究题、例习题，以及高考真题都是很好的素材，本文借助这些素材在解题教学中，有意识地从几何直观和空间想象两个方面渗透对学生直观想象素养的培养。

【关键词】直观想象;数学核心素养;几何直观;空间想象

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）32-207-03

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：直观想象素养是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。

本文提出，学生直观想象素养的培养可以从几何直观和空间想象两个方面进行，借助几何直观将不容易掌握的数学问题进行直观化与简明化;借助空间想象帮助学生认识空间几何体的结构特征，能想象空间图形之间的分解与组合，展开与折叠等。教材中的很多探究题、例习题，以及高考真题等都是很好的素材，本文借助这些素材，在解题教学中，有意识地从几何直观和空间想象两个方面渗透对学生直观想象素养的培养。

一、借助“几何直观”培养学生素养的直观想象案例

关于几何直观，著名数学家徐利治教授曾给出这样的定义：借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。这种利用几何图形来认识、描述和理解数学问题，再进行数学思考和分析的过程，非常符合高中生的学习特点。

例1  （人教A版必修4，P23探究题）给定一个角α

（1）角π-α、π+α的终边与角α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

（2）角-α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

（3）角; -α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？

分析;这是人教A版必修4，P23的一道探究题，此探究题是在学习了用单位圆定义三角函数之后，用来探究《1.3三角函数的诱导公式》的。考虑到角的终边是条射线，且与单位圆的交点可以定义三角函数，故可以从单位圆关于x轴，y轴，直线x=y的轴对称性以及关于原点O的对称性出发，获得解题思路。

结合单位圆定义三角函数的知识，把给定的角α放到直角坐标系中，画出图形，角α的终边与单位圆的交点记为点A，如图1.对于问题（1）中的角π-α、π+α，按照相同方法画出图形，角π-α、π+α的终边与单位圆的交点分别记为点B，点C，如图2，引导学生“看”图，易知道点A与点B关于y轴对称，点A与点C关于原点O对称，即角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称;角π+α的终边与角α的终边关于原点O对称。根据点A与点B，点A与点C的坐标关系，从而推理出角π-α与角α的三角函数关系，见公式二;π+α与角α的三角函数关系，见公式四。

对于问题（2）中的角-α，题（3）中的角; -α，画出图形，终边与单位圆的交点分别记为点D，点E，如图3和图4，引导学生“看”图，易知道点A与点D关于x轴对称，点A与点E关于直线x=y对称，即角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;角的; -α终边与角α的终边关于直线x=y对称。根据点A与点D，点A与点E的坐标关系，从而推理出角-α与角α的三角函数关系，见公式三;; -α与角α的三角函数关系，见公式五。

说明 在教学中，如果问题有明显的几何背景，首先应引导学生画图、看图、想图并形成习惯，其次引导学生借助图形分析获得求解的思路，使学生养成从直观图形的角度观察并思考问题的习惯，优化数学结论的形成过程，进而提高了数形结合思想解决数学问题的能力。

例2  （2019年全国新课标Ⅱ卷理第11题）设F为双曲线C：;-; =1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点。若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 （; ）.

A.  2;;;;B.  3  C.2;;; D.  5

分析 这是2019年全国新课标Ⅱ卷理第11题，是一道考查圆锥曲线的综合类小题，这类试题在高考试卷，以及各地的高考模拟题中很常见。如图5，设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴，又因为|PQ|=|OF|=c，所以|PA|=; ，即PA为以OF为直径的圆的半径，故|OA|=;，即P（  ， ），又点P在圆x2+y2=a2上，故; +;

=a2，即;=a2，所以e2=

;  =2。所以e= 2，故选A.

说明 几何直观的载体是图形，依靠直观，通过让学生动手实践，直观分析，让他们切身体会到几何直观分析对简化解题的重要性，从而增强主动画图，用图分析的意识，进而培养学生的直观素养。

例3  （2018年全国新课标Ⅲ卷理第6题）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（;; ）

A.[2，6];; B.[4，8];; C.[  2 ，3  2  ];;D.[2  2  ，3  2 ]

分析 这是2018年全国新课标Ⅲ卷理第6题，是一道平面解析几何类小题，属于难度中档的试题，但是如果学生没有掌握此類题蕴含的“几何”模型，而选择用代数的方法解决时，会在运算上有困难，可能求解不出结果。所以，需要挖掘问题背后的“几何”问题，构建恰当的“几何”模型。

实际上A，B两点是定点，即线段AB是定线段，要求△ABP的面积的取值范围，需把握“变”量与“不变”量，尽可能的选择“变”量少的面积公式。故构建“点到确定直线的距离”这个“几何”模型，借助几何直观使题目简单化。

由题意易求A（-2，0），B（0，-2）则|AB|=2 2 .因为点P在圆（x-2）2+y2=2上，所以圆心Q的坐标为（2，0），圆的半径r= 2 ，则点Q到直线的距离h=;;;;= 2  2，如图6，故动点P到直线x+y+2=0的距离d∈[h-r，h+r]，即d的范围为[  2  ，3  2 ] ，则S△ABP=; |AB|d=  2 d∈[2，6] ，故答案为A.;;;;;;;;

说明 教师通过引导学生挖掘问题背后的“几何”背景，利用图形的直观性，建立“几何”模型，将△ABP的面积的取值范围，转化到求解点到直线距离的取值范围，利用距离公式求出结果。学生通过不断积累经验，就能快速“悟”出解题方法，这对于培育学生直观想象这个核心素养具有关键的指导作用。

二、借助“空间想象”培养学生素养的直观想象案例

空间想象帮助学生认识空间几何体的结构特征，学生在会画空间图形的基础上，能想象空间图形之间的分解与组合，展开与折叠等，所以，立体几何版块的教学内容是培养直观想象素养非常好的载体。

例4  （2018年全国新课标Ⅰ卷理第7题）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三图如图7，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（; ）.

A.2  17 B.2  15;;;;C.3 ;  D.2

分析 这是2018年全国新课标Ⅰ卷理第7题，是一道立体几何类小题，属于难度中档的试题。首先，学生需要通过“看”三视图中的点A，B，“想象”它在原图——圆柱中的位置，然后在此几何体的表面考虑点M，N的最短路径问题。由于几何体表面的两点之间距离，从立体几何图看是曲线，不易求解，需要学生用转化思想，先根据几何体“想象”怎么通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解。

通過三视图发现圆柱上点M，N的位置，如图8.几何体表面的两点之间距离，从立体几何图看是曲线，通过“想象”圆柱的特殊性质，选择沿过点M的母线把圆柱展开，如图9，发现两点之间线段最短，直接连接点M，N，求得MN= 22+42=2  5 ，即为最短路径的长度。故答案为B.

说明 许多几何问题的背后都有一个代数模型，需要通过“想象”挖掘出其代数意义，才能使复杂问题简单化，最终寻求解题突破。

学生通过空间几何体的结构特征，能“想象”空间图形表面的展开与还原，是培养想象素养的非常好的思维方式。

例5  （2017年全国新课标Ⅰ卷理第7题）某多面体的三视图如图10所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（;  ）.

A.10 ;;;; B.12;;;; C.14 D.16

分析 这是2017年全国新课标Ⅰ卷理第7题，是一道立体几何类小题，属于难度中档的试题。其实，依据三视图凭空想象此多面体的原图解题是比较困难的，依据常规方法，对学生的空间想象能力的要求较高，如果利用常见几何模型，从中找此几何体就会变得较简单。

根据三视图还原的几何体是个组合体，如图11.是由三棱柱ABC-DRF和三棱锥E-FDR组成的。则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2×（2+4）×2×; =12，故选B.

说明 学生对长方体的空间认识比其他几何体多，利用长方体解决空间几何体问题能有效减轻学生的认知负荷。空间几何体的课堂教学内容为培养学生直观想象素养提供了素材。

例6  （人教A版必修2，P79B组第1题）如图，边长为2的正方形ABCD中，

（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'，求证：A'D⊥EF.

（2） 当BE=BF=; BC时，求三棱锥A'-EFD的体积.

分析 这是人教A版必修2，P79B组第1题，是一道立体几何类大题，属于难度中档的试题。题目涉及到平面图形的折叠，折叠前是平面图形，折叠后是空间几何体。关于折叠问题，需要学生依靠经验，总结出折叠前后的变量与不变量，这是解决这类问题的关键。;

折叠前的关系：AD⊥AE，CD⊥CF折叠后的关系：A'E⊥A'D，A'F⊥A'D。对于问题（1），因为A'E⊥A'D，A'F⊥A'D又因为A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF，所以，A'D⊥平面A'EF，因为EF?平面A'EF，所以A'D⊥EF.

问题（2），因为A'D⊥平面A'EF，所以A'D是A'到平面A'EF的距离，且A'D=2.在Rt△BEF中，BE=; AB=;，BF=

BC=;  所以EF=  BE2+BF2;=;  .在△A'EF中，A'E=; AB

=;，A'F=; BC=;  ，EF=;  ，所以△A'EF是等腰三角形，如图14.求出△A'EF底边的高

h=  A'F2-（;EF）2;=（; ）2-（; ）2 =;; .

可求出△A'EF的面积，S△A'EF=; EF·h=; ×; ×;

=;; 所以VD-A'EF=;  S△A'EF·A'D=;  ×;  ×2=;;的体积。又VA'-DEF=VD-A'EF，所以VA'-DEF=;; .

说明 平面图形的折叠问题是立体几何常考题型，关于折叠问题，需要学生依靠经验，重视分析平面图形到立体图形的几何特征，位置关系，以及数量关系的变化情况，在整个解题过程中，学生发现了问题、分析了问题，最终解决了问题，提高了空间想象能力。

三、结束语

课堂教学是培养学生核心素养的主要途径之一，随着对核心素养的考查力度的增加，高中数学教师应该让核心素养，特别是直观想象核心素养，在数学课堂实践中落地，更需要深挖掘出教材中蕴含直观想象核心素养的切实可行的案例在课堂上呈现。

【参考文献】

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

作者单位

（广州市第八十一中学;广东;广州;510000）