利用“互联网+”和雨课堂平台解决“线性代数”中的教学难点

郑 晨，张 楠，王 东

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；2.桂林电子科技大学 信息科技学院，广西 桂林 541004)

0 引言

“互联网+”在教学改革和创新中的应用引起了教育领域的研究热潮，而且基于“互联网+”教学模式的理论研究和应用实践取得了一定的成果。但是，这些研究还不够深入，大多数研究论文都集中在讨论某一课程的教学框架，或者是展示某一具体课程在“互联网+”教学平台上的教学过程。研究如何突破教学难点的具体教学方法，从而帮助学生解决在学习中遇到的问题的文献较少。

基于“互联网+”的教学模式正在推动着教学管理和教学方式的改革和创新。这种现代教学模式不仅改变了传统的教学形式，而且改变了传统的教学理念。基于“互联网+”的教学模式最显著的一个特点是利用互联网及其延伸功能和现代信息通信技术，通过网络开放课程(慕课，学堂在线、好大学在线等)、社交媒体(QQ、微信等)平台、雨课堂等在线教学工具提供了多样化的教学形式和内容，并突破了时间和空间的限制，使学生能够根据自己的时间安排和知识基础选择适合自己的学习内容，为大班授课的教学形式创造了个性化教学的条件，从而实现了传统教学模式难以实现的教学目标[1]。

当前“互联网+”教学模式处于起步阶段，对于“互联网+”教学模式的理论研究和应用实践仍在探索之中。作为理工科最重要的理论基础课程之一的“高等数学”如何利用“互联网+”教学模式来提高教学质量引起了教师们的广泛关注，并提出了许多教学案例。

例如，郑继明等[2]提出将高等数学的混合式教学分为4个阶段：准备阶段、课前导学阶段、课中研学阶段和课后拓学阶段，并通过雨课堂将PPT课件及微信结合在一起，把课前、课中、课后的教学内容放在网上，学生随时查阅，以此提高学生的学习效率。褚丽娜[3]以“定积分的几何应用”为例来说明智慧课堂的构建，讨论了智慧课堂教学模式中教学活动的3个阶段：课前、课中、课后。课前阶段包括上传微课视频“曲边梯形面积的求法”及课件，让学生观看并完成课前任务。课中阶段主要是讲解“微元法”的基本思想等教学内容，并与学生的互动，解决学生在学习过程中遇到没学懂的问题。课后阶段包括布置课后作业，学生完成作业后上传于学习平台，教师根据学生完成作业的情况进行点评和个性化辅导。

张茵茵等[4]以“计算机操作系统”课程为例探讨了蓝墨云班课平台在教学中的应用。其教学过程的3个阶段：课前推送教学资源，提前学习；课堂上交流讨论，深化理解；课后测试，巩固学习。文中还介绍了如何解决“经典进程的同步问题”中“生产者-消费者问题”和“读者-写者问题”这些教学的重点和教学难点的方法：为了突破这两个教学重难点，课前将有关这两个问题的微课及课件上传到蓝墨云班课平台上，并且将网上搜集到的有关这两个问题的精华帖子连接到资源中，此外，还讨论了基于雨课堂的“高等数学”混合式教学模式，提出了4个阶段的教学改革设计：(1)前期准备，制作教学视频、课件试题，开设“雨课堂”班级。(2)课前引导，以问卷调查的方式发布任务单，要求学生通过视频、课件进行预习，并完成任务单，教师通过任务单数据来了解学生的预习情况，制定有针对性的课堂教学内容。(3)课堂教学，根据收集到的学生预习中出现的问题，进行针对性教学。(4)课后复习，教师根据课堂教学情况，发布具有针对性指导意见和课后作业，巩固已学的知识。

然而，从近期发表的教学论文看，大多数关于“互联网+”教学模式的理论研究都集中在讨论针对某一课程的教学框架，以及总结并展示某一课程在“互联网+”教学平台上的教学过程。在研究如何突破教学难点的具体教学方法，从而帮助学生解决在学习中遇到的问题的文献较少。本文以“线性代数”课程为例，提出一种利用“互联网+”和雨课堂教学平台解决教学难点的方法。

1 解决数学课程教学难点的方法

本章探讨利用“互联网+”和雨课堂平台解决数学课程教学难点的方法，并提出解决教学难点的几项具体措施。

1.1 教学难点的特征

教学难点是指教师在授课过程中难以讲好、学生在学习过程中不易理解和掌握的知识点。对于教学难点，教师面临着几方面的挑战：(1)学生预习有困难。学生看不懂教材中的相关内容，也看不懂教师放在网上的PPT。(2)学生听课有困难。被列为教学难点的内容一定有其难以理解的地方，往往是教师在课堂上对相关知识点进行讲解以后，还是有部分学生没能理解。(3)影响后续内容的教学。数学课程中的内容有着紧密的联系，前面的知识没学好会影响后面内容的学习。如果不及时解决课程中的教学难点，就难以达到预定的教学目标。

因此，如何解决课程中的教学难点是教学中的重中之重，也是每一个教师应该深入思考的问题。另一方面，虽然在处理教学难点时有困难，也需要投入更多的时间和精力，但只要能认清教学难点的核心问题所在，并采用恰当的方法，就能够很好地解决教学难点。数学教学难点所涉及的知识点通常有以下几个典型特征：有抽象的概念；有多个参数(变量)的计算公式；有复杂的操作过程或计算步骤；有多层次的知识结构，即一个知识点包含有多个概念、多个公式、多个操作过程、多个计算步骤。我们可以针对教学难点的特征找出解决的办法。

1.2 降低难度

解决教学难点，首先应该降低理解相关知识的难度。人工智能理论中有一种问题求解方法，将一个难度很大的复杂问题分解为几个难度较小的相对简单的子问题，然后逐一解决所有的子问题，从而解决整个复杂问题。这种思想方法可以用来处理教学难点，即把一个复杂的知识点分解成几个部分，教师逐一讲解，学生逐一学习、逐一理解，最后经过整合达到理解整个复杂知识点的目标。根据数学教学难点的特征，我们把如何分解教学难点中的知识点归纳如下：

(1)对于包含多个概念的知识点，可以把每一个概念作为一个子问题；

(2)对于层次结构复杂的知识点，可以将各层次的知识点作为一个子问题；

(3)对于包含多个操作(或多个计算步骤)的知识点，可以把若干个联系紧密的操作(或计算步骤)作为一个子问题；

(4)对于包含抽象概念的知识点，可以首先通过概念的外延属性列出一些实际例子让学生形成对抽象概念的初步认识，然后通过概念的内涵属性给出抽象概念的应用举例使学生对抽象概念形成完整的理解。

1.3 多层次教学方案

把教学难点分解为若干个子问题后，接下来就是讲解这些子问题。由于每个学生的基础知识各有不同，对知识的理解能力也不一样，所以学生在接受新知识的时候会出现不同程度的差异。特别是在学习难度较大的知识点时，有些学生听老师讲解一遍就懂了，而有些学生听了三遍也没懂。因此，在处理教学难点时要准备多套不同层次的教学方案，进行个性化教学。我们认为，至少应该准备三套不同层次的教学方案：

(1)分解-降难。这是常规教学方案，可在计划课时内完成教学任务，适用于老师在课堂上对全班同学讲解。具体操作如下：按照上文提出的降低难度的方法，将知识点分解为若干个子问题逐一进行讲解。采用这一教学方案预计有70%的学生可以完全理解所学内容；另有30%的学生只理解部分知识，没能完全听懂的老师所讲的内容。因此，需要启用第二个教学方案。

(2)展开-细化。这是增强型教学方案，针对没能听懂全部内容的学生设计的。该方案的实施需要较多时间，因此需要将教学内容做成微课，上传到“互联网+”、雨课堂等在线教学平台上，让学生课后进一步学习。具体做法是：进一步展开教学知识点，将所教授的知识点分解为更细的小问题，对每一个小问题进行更详细的讲解，并适当增加应用举例。“展开-细化”教学方案的核心思想是让学生更清楚地看到知识点的细节部分，提高学生对知识的理解能力。

(3)补充-完善。这种方案是针对基础知识欠缺、理解能力较差的学生设计的。这种教学方案内容多、学习时间长，因此需要将教学视频、课件等教学资源制作为微课，上传到“互联网+”、雨课堂等在线教学平台上，让学生根据自己的情况安排学习时间。如果在实施了第一种教学方案和第二种教学方案后，少数学生还是不能完全理解所学知识，那么可以猜测这些学生听不懂课的原因不仅是本节课所涉及的新概念和新方法难以理解，而且涉及基础知识欠缺问题，即没有理解和掌握好在本次课程教授的知识点所需的前导知识。详细步骤是：设计一个包括讲解新知识点所涉及的前导知识且更为详尽的教学方案，从多视角、多侧面去讲解新知识点所包含的所有概念和方法(包含前导知识)，并且要多举例子。必要时教师还就给予适当的指导。经过这一阶段的学习，相信学生应该能够理解和掌握所学的知识点了[5]。

2 应用举例

本章以丘维声编著的经典教材《简明线性代数》[6]中第2章第2节的内容“n阶行列式的定义”为例，说明如何利用本文提出的降低难度的方法来解决数学课程中的教学难点。

可参考丘维声[6]给出的n阶行列式的定义。

定义1～n阶行列式

是n!项的代数和，其中每一项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这n个元素按照行指标成自然排序排好位置，当列指标所成排列是偶排列时，该项带正号；奇排列时，该项带负号。即

(1)

众所周知，n阶行列式的概念是线性代数课程中的教学重点，也是教学难点。该知识点包含有代数式、顺序、逆序、偶排列、奇排列、代数项的符号、求和等多个概念，而且n阶行列的概念较为抽象。所以在教学过程中需要进行降低难度处理。下面按“分解-降难”教学方案介绍“n阶行列式的定义”的教学案例。

按照上文提出的“分解-降难”教学方案，把n阶行列式定义分解为4个小问题，并进行展开来讲解。

2.1 对n阶行列式的初步认识

教学目标：用普通语言来描述n阶行列的定义(不能照教材中的定义念)，让学生对行列式的记号、代数项的构成、完全展开式的代数结构等概念有一个初步的认识。

展开：一个n阶行列式是由n行n列共n2个元素

(2)

按一定要求构成的n!项代数和

(3)

(4)

2.2 构成n阶行列式(3)中各代数项的条件

教学目标：了解构成n阶行列式中各代数项所包含的元素需要满足什么条件，如何表示这些代数项。

展开：代数和式(3)中的每一项ai1j1ai2j2…ainjn都是由式(2)中位于不同行、不同列的n个元素的乘积构成。即，ai1j1ai2j2…ainjn一定包含有式(2)中第一行的某个元素，第二行的某个元素，…，第n行的某个元素。因此，代数项ai1j1ai2j2…ainjn可写成行下标固定排序的形式。

(5)

然后，在方框中分别填入不同的列下标就得到具体的代数项。例如，在式(5)的方框中分别填入2，3，4，…，n-1，n，1就得到一个具体的代数项a12a23a34…an-1nan1。

2.3 n阶行列式的完全展开式

教学目标：了解n阶行列式完全展开式的结构，准确写出n阶行列式完全展开式的所有项，确保没有重复也没有遗漏。

展开：把n个列下标1，2，…，n的所有不同排列分别填入式(5)的方框中就得到n阶行列式完全展开式的所有项。由于1，2，…，n共有n!个不同的排列，所以n阶行列式完全展开式共有n!项。

例如，4阶行列式的展开式共有4!项。按以下方法可快速写出4阶行列式的所有项。

1，2，3，4(0) 1，2，4，3(1) 1，3，2，4(1) 1，3，4，2(2) 1，4，2，3(2) 1，4，3，2(3)

2，1，3，4(1) 2，1，4，3(2) 2，3，1，4(2) 2，3，4，1(3) 2，4，1，3(3) 2，4，3，1(4)

3，1，2，4(2) 3，1，4，2(3) 3，2，1，4(3) 3，2，4，1(4) 3，4，1，2(4) 3，4，2，1(5)

4，1，2，3(3) 4，1，3，2(4) 4，2，1，3(4) 4，2，3，1(5) 4，3，1，2(5) 4，3，2，1(6)

(6)

其中，括号内的数字为排序的逆序数。所以4阶行列式完全展开式的不带符号的所有项为：

a11a22a33a44，a11a22a34a43，…，a14a23a31a42，a14a23a32a41

因为n阶行列式是n!项的代数和，所以还要确定每个代数项的符号。

2.4 确定n阶行列式(3)中各项的符号

教学目标：掌握根据代数项ai1j1ai2j2…ainjn中元素行下标和列下标排列的逆序数确定该代数项的符号。

展开：n阶行列式中代数项ai1j1ai2j2…ainjn的符号由(-1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)确定，其中τ(i1i2…in)为行下标排列(i1i2…in)的逆序数，τ(j1j2…jn)为列下标排列(j1j2…jn)的逆序数。

(-1)τ(12…n)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(0)+τ(j1j2…jn)=(-1)τ(j1j2…jn)

因此，上文讨论的4阶行列式的完全展开式为

a11a22a33a44+a11a23a34a42+a11a24a32a43+a12a21a34a43+a12a23a31a44+a12a24a33a41+a13a21a32a44+a13a22a34a41+a13a24a31a42+a14a21a33a42+a14a22a31a43+a14a23a32a41-a11a22a34a43-a11a23a32a44-a11a24a33a42-a12a21a33a44-a12a23a34a41-a12a24a31a43-a13a21a34a42-a13a22a31a44-a13a24a32a41-a14a21a32a43-a14a22a33a41-a14a23a31a42

(7)

在以上4阶行列式完全展开式中，因为每个代数项的行下标排列都是1，2，3，4，即每个代数项的行下标排列的逆序数τ(i1i2…in)都是0。又因为τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)=0+τ(j1j2…jn)=τ(j1j2…jn)，所以a1j1a2j2…anjn的符号由列下标排列的逆序数τ(j1j2…jn)确定。τ(j1j2…jn)为偶数时，a1j1a2j2…anjn的符号为正；τ(j1j2…jn)为奇数时，a1j1a2j2…anjn的符号为负。

在n阶行列式的实际计算中，可以按照式(5)的格式填入所有列下标的排列，然后根据行列下标找到对应的元素，再根据列下标排列的逆序数确定各代数项的符号就可以得到n阶行列式的完全展开式。例如：

=

(2×2×1×2)+(2×1×2×1)+

(2×3×1×2)+(1×1×2×2)+

(1×1×3×2)+(1×3×1×1)+

(3×1×1×2)+(3×2×2×1)+

(3×3×3×1)+(1×1×1×1)+

(1×2×3×2)+(1×1×1×2)-

(2×2×2×2)-(2×1×1×2)-

(2×1×1×2)-(2×3×1×1)-

(1×1×1×2)-(1×3×3×2)-

(3×1×2×1)-(3×2×3×2)-

(3×3×1×1)-(1×1×1×2)-

(1×2×1×1)-(1×1×3×1)

=-11

最后，由于篇幅太长，本文只讨论了“分解-降难”的教学方案，没有给出“展开-细化”和“补充-完善”的教学方案，读者可以继续探讨或把这些教学方案应用到其他内容。

3 结语

本文提出一种利用“互联网+”和雨课堂教学平台解决教学难点的方法。利用人工智能中问题求解的思想方法来处理教学难点，即把一个复杂的知识点分解成几个部分，教师逐一讲解，学生逐一学习、逐一理解，在理解了各部分知识点的基础上，最后经过整合达到理解整个复杂知识点的目标。针对基础知识不同、理解能力有差异的学生，本文提出基于“互联网+”和雨课堂教学平台的多版本、多层次的教学方案，实施个性化教学。把经过分解细化的不同版本的教学视频、课件放到在线教学平台上，学生可以灵活安排自己的时间并根据自己的需要学习这些以知识点为单元的微课。此外，本文还以“线性代数”课程中的“n阶行列式的定义”为例展示了如何处理教学难点的案例。

本文提出的利用“互联网+”和雨课堂教学平台解决教学难点的方法可以为其他课程提供借鉴。虽然举的是数学课程的例子，但其解决问题的方法具有普适性，可以推广到其他课程。从教学实践的经验获知，降低对知识点理解的难度是解决教学难点的最重要的基础，没有捷径可走，高质量的教学需要在这一部分下功夫。利用“互联网+”和雨课堂教学平台实施个性化教学是高校大班教学最有效的办法之一，值得进一步探讨和实践。