小学数学问题串为何和何为*

刘贤虎

【摘   要】问题串可以作为学生学习的支架，实现“教、学、做”合一，发展学生的思维能力。总结提炼在概念教学、计算教学、规则教学、解决问题教学中设计主题问题串的普遍性规律，能对教师的教学工作起到指导作用。

【关键词】数学问题串;设计;教学

问题解决是20世纪80年代以来国际数学教育界提出的一个重要概念，也是课程标准中课程目标阐述的四大维度之一，已成为广大数学教育工作者持续关注的热点。问题解决所指的问题与平常的练习和习题不同，它是具有挑戰性的、需要深入思考和探索才能解决的问题。问题解决的核心在于问题，实质指向学生的思维。

一、问题串为（wéi）何

以问题为主线的教学，是将问题作为教学活动的核心内涵激发学生主动参与的教学活动，“教师和学生都应以问题为中心进行双向的互动，实现双主体的双互动”[1]。如何发挥“问题”的引领作用，教师需要将每节课的教学重点和难点进行整体把握和深入思考，形成层层深入、逻辑关联的问题串。这有利于学生明确学习目标、整体把握学习内容、提升学习效率和促进思维发展。

“问题串”常常包括what（是什么，即知识技能）、why（为什么，即所包含的知识及知识之间的联系和结构）、where（从哪里来的，即获取知识的方法策略和数学活动经验）、how（怎样，指向知识的价值意义），这些都是学生学习时应该向自己提出的问题。经常问这些问题是促进学生元认知能力发展的有效手段，而元认知水平的高低正是决定问题解决成功与否的一个重要因素。

二、问题串为（wèi）何

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，要培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力。在以问题为主线的教学中恰当应用问题串较为关键，问题串将教学内容整合为一体，使目标更明确，结构更清晰，活动更聚焦，能有效培养学生问题解决的能力。各个版本教材不同程度地体现了运用问题串导学导教的特点，如人教版“解决问题”内容从解题步骤上呈现了“阅读与理解、分析与解答、回顾与反思”等问题串;北师大版整套教材更是以“情境+问题串”为其主要的编写特色。在实施过程中，问题串将“学生的学习过程、教师的教学过程、内容的呈现过程、目标的达成过程有机整合在一起”[2]，有效地促进了学生四能和四基的发展。

三、问题串何为

作为教师，要善于在研究一些具体学习内容的基础上，总结出相关教学问题串的普遍性规律，进而指导新的教学工作。

（一）概念教学，着眼多元表征从直观到抽象，促进意义建构

数学概念是小学数学中重要的学习内容。学习概念有两种形式，一种是直接揭示，指从大量的例子出发，以归纳的方式抽取出一类事物的共同属性。小学阶段的概念大多是描述性的，如乘法的意义、角、分数、小数等。第二种是在已有的知识基础上得出，属于概念的同化，即学习者利用已有概念来理解一类事物的本质特征，从而明确概念的方式。如“倍”的概念就是建立在乘法概念的基础上的。概念的形成需要借助一定问题情境，使“新概念”与学生现有图式建立实质性的联系。一般情况下，概念教学需要关注的问题有：概念是什么，为什么要研究这个概念，这个概念和别的概念有什么联系和区别等[3]。

如人教版四下“小数的意义”一课的问题串如下（本文课例都源于人教版）：

1. 0.4，0.78分别表示什么意思？你能把自己的想法画出来或记录下来吗？（画一画，写一写）

2. 0.016表示什么意思？你能把自己的想法画出来或记录下来吗？（画一画，写一写）

3.你发现一位小数、两位小数、三位小数分别表示什么？相邻两个计数单位之间的进率是多少？（比一比，想一想，说一说）

问题串里的问题1、2是“一位、两位、三位小数分别是什么”的具象化，问题3指向概念之间的联系，3个问题明确了学习的方向，能让学生整体把握这节课的教学目标。教师还可设计优质的子问题，不断追问，逐步触及数学知识的本质。如学生表示出0.4后，教师追问，你怎么知道这就是0.4？0.7怎样表示，0.9呢？在0.1，0.4，0.7和0.9中，你认为哪一个小数最重要？这样的追问，从浅到深，由表及里，指向核心概念——计数单位，能够促进概念的意义建构和学生的深层理解。

小学生的思维以直观形象思维为主，因此概念教学要遵循从直观到抽象的认知过程。与此同时，概念的学习过程要让学生经历情境表征、语言表征、图形表征、动作表征和符号表征等。多种表征方式之间的转化越顺畅，学生对概念的理解越深刻。

（二）解决问题教学，探索知识应用从一般到特殊，彰显方法策略

解决问题教学在把“四能”作为目标的同时，体验解决问题策略的多样性也是目标之一。数学教育家波利亚在《怎样解题》中将数学问题解决过程分为四个阶段，即弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾与反思[4]。人教版“解决问题”内容采用类似结构进行编排，一、二年级教材呈现三个步骤：知道了什么、怎样解答、解答正确吗。三、四、五、六年级教材变为：阅读与理解、分析与解答、回顾与反思。这样的编排设计便于学生掌握解决问题的基本步骤与方法，形成模式思维。

解决问题的过程不仅是知识的应用过程，更是学习各种数学思想方法，如归纳、类比、转化、分类、优化、有序等，以及各种策略，如画图、列表、假设等的过程。教学中通过对信息的收集、处理，经历猜想、尝试和推理，比较、反思、验证解决问题的方法，帮助学生提高解决问题的能力，发展数学思维。因此，解决问题教学关注的一般问题有：你是怎样解决的？你想到了哪些方法策略？解决问题的关键是什么？

如五上“分段计费”一课提供的信息：收费标准： 3km以内7元;超过3km，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。本课的问题串是：

1.杨叔叔坐了6.3km，他应付多少钱？（想一想，画一画，算一算）

2.尝试完成出租车价格表。除了用表格表示收费情况，你还能用其他的方式表示出分段收费吗？（填一填，画一画，说一说）

3.解决分段计费问题的关键是什么？（想一想，写一写，说一说）

教学时应根据学生的思维习惯，引导学生以数学的眼光发现、提出问题——发现按照一般的思路无法解决，引发思考“分段计费为什么不是单价×里程数”;以数学的思维分析、解决问题——先分段，再计算;训练学生掌握常见的问题解决的策略——列表、画图等，关注解决问题方法的多样性。问题解决后，还要督促学生深入思考是否存在某些隐藏的错误，能否找到更有效的解题方法，这一解题过程可获得哪些一般性的结论和启示等。

（三）计算教学，立足概念意义从特殊到一般，理解算理算法

计算教学在四基的视角下被赋予了新的意义和内涵。算理是四则运算的理论基础，它是由数和运算概念、运算定律和运算性质等构成的。具体的计算方法是四则运算的基本程序和方法。算理为算法提供理论依据，学生对算理的理解和算法的掌握通常要经历从直观到抽象、从特殊到一般的过程。在教学设计时，要关注问题情境、学情以及应给予的学习支持。

如六上“分数除以整数”，教材先安排“把一张纸的[45]平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？自己试着折一折，算一算”。接着计算[45]÷3，最后提出“根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？”教材借助直观模型（面积），支撑分数除以整数的教学。大部分学生能根据认知基礎和学习经验，想到竖着分，直观地感受到4个[15]平均分成2份，每份是2个[15]，即[25]。还有学生会想到横着分，把5份再平均分2份，相当于把这张纸平均分10份，也就是求[45]的[12]是多少，[45]÷2=[45]×[12]=[410]=[25]。教师要及时引导学生将这两种方法与分数的意义、运算的意义相联系，回到知识的起点。学生接着思考“把一张纸的[45]平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？”发现只能用第二种思路。学生对比优化，发现分数除以整数（不为0），当分子是除数的倍数时，直接除比较简单，但更一般的方法是用分数乘这个整数的倒数。接着应脱离具体情境和动手操作，让学生计算[712]÷4，并借助数概念及运算意义进行表征，使学生对算理的理解走向深入。这样可使学生从直观到抽象、从特殊到一般地认识规律，也有足够的例子理解算理、归纳算法。

因此，“分数除以整数”的问题串可设计如下：

1.把一张纸的[45]平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？（折一折，算一算）

2.把一张纸的[45]平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？（折一折，算一算，比一比）

3. [712]÷4怎么计算呢？说说你的解释。（算一算，说一说）

4.结合以上计算，请你说说分数除以整数该怎么计算。（想一想，说一说）

计算教学的一般问题是：具体情境下如何计算，你是怎么想的？脱离情境变成抽象的数如何解释计算过程？这一类计算的方法是什么？

（四）规则教学，经历探究发现从猜想到验证，体验变与不变

小学数学中的定律、性质、公式及规律等教学，简称为规则教学（不包括计算教学）。教学中可创设问题情境，引导学生合情推理，形成猜想，然后验证得出定律、性质、公式及规律等。“归纳”和“类比”是合情推理的重要方式，如教学“加法和乘法的交换律”“乘法分配律”“比例的基本性质”“商不变性质”“小数的基本性质”“小数点移动引起小数大小变化的规律”等常常利用归纳或类比推理。一般情况下，规则教学应提出的问题是：发现了什么？如何验证自己的发现是否正确？前后之间有什么联系？还需再举例吗？发现规则后，合情推理还需往前走一步。学生既要借助合情推理来发现问题、提出问题，还要利用演绎推理来分析问题、解决问题。

如“平行四边形的面积”，对如何计算平行四边形的面积学生的表现主要有三种，第一种是（底边+邻边）×2，第二种是邻边相乘，第三种是底×高。组织学生讨论，发现第一种计算的是平行四边形的周长，第二种计算的是长方形的面积，这两种都不对。第三种学生一下子解释不清楚，引发猜想：平行四边形的面积计算是不是底×高呢。通过以下问题串引导学生进行验证。

1.借助数方格的方法，你发现平行四边形的面积等于什么？（数一数，算一算，比一比）

2.你打算把平行四边形转化成什么图形？平行四边形与转化后的图形有什么联系？（剪一剪，比一比，说一说）

3.平行四边形的面积计算，你还能想到其他的验证方法吗？（想一想，说一说）

学生先借助数方格直观感受，接着进行探究，通过画、剪、移、拼，把平行四边形转化成长方形，发现平行四边形与拼成的长方形之间的联系，即形状变了，面积大小没变，进而得出面积计算公式。其间教师要导学生进行抽象，思考感悟数学思想方法。

问题串的设计要环环相扣、由浅入深，激励学生思考。在设计问题串时，要把握数学的本质，还要善于将数学问题由原来的“学术形态”转化为适合学生学习的“教育形态”。如六上“圆的初步认识”一课的问题串是：什么是圆？圆有什么作用？圆与其他图形有什么联系和区别？可以进行适当完善：什么样的图形是圆？生活中哪些物体是圆，能换成别的图形吗？圆和其他平面图形有什么联系和区别？正如张奠宙先生所言，把数学知识转化为教育形态，一是靠对数学的深入理解，二是要借助人文精神的融合。

参考文献：

[1]杨丽芳.问题链，链出精彩课堂：小学高年级数学课堂“问题链”设计探析[J].数学学习与研究，2015（2）.

[2]郑毓信.中国数学教育的“问题特色”[J].数学教育学报，2018（1）.

[3]王月华.大胆猜想   小心论证：浅析数学教学中学生合情推理能力的培养[J].中学教学参考，2012（22）.

[4]吴正宪，武维民.在“好吃”中享受“有营养”的儿童数学教育实践探索[J].中国教师，2017（14）.

[5]张奠宙.关于数学知识的教育形态[J].数学通报，2001（4）.

（广东省东莞松山湖中心小学    523808）