一类平方立方非线性耦合系统主共振解析近似解的研究

李 洁

宿迁学院建筑工程学院（223800）

0 引言

式中 α1和 α2不必限制为小参数，（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2系统参数均为无量纲参数。令，

于是方程式（1）变成

大多数非线性微分方程都没有准确解析解的经典的摄动技术如多尺度法[1]、平均法[2]等，通常仅限于小参数非线性方程组的分析，难以适用于强非线性振动系统。

廖世俊提出的同伦分析法通过引入辅助参数和辅助函数来调节和控制级数解的收敛区域和收敛速度[3]。工程技术中的许多非线性问题应用该方法已经成功解决，如求解非线性动力系统极限环[4]、非牛顿流体的磁流体动力学[5]等。李永强等人应用同伦方法研究了单自由度和多自由度系统的立方非线性受迫振动系统主共振问题[6-10]这些成功应用的例子表明,同伦分析方法可以有效地解决许多非线性问题,但该方法在平方和立方非线性耦合系统主共振方面的应用却未见报道。

文章应用同伦分析法研究了如下一单自由度平方立方非线性耦合系统的主共振问题[11]。

式中（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2（下同）。

1 同伦分析法的基本原理

同伦分析法的基本思想[4]是来自于代数拓扑中的连续映射，希望构造一个联接方程式（3）的解u（τ）和一个给定函数 u0（τ）之间的同伦 Φ（τ；q），q[0，1]，使得 Φ（τ；0）=u0（τ），Φ（τ；1）=u（τ）。 首先，需要确定一组基函数，显然，单自由度系统主共振可由

为此解表达式可选为

式中Ak是未知的复函数，Ak是Ak的共轭。令Ω0为频Ω率之初始猜测值，选取

作为 u（τ）的初始猜测值，根据解表达式（5），选取

为辅助线性算子， 其中 λ[ Ce x p（iτ）]=0，C∈R.根据方程（3），定义如下非线性算子[15]。

式中，Φ（τ；q）为依赖于 τ和 q 之函数，（q）为 q之函数。令ħ表示非零辅助参数,构造如下零阶形变方程

这样，当q=0时，由式（9）可以得到

当 q=1时,由于 ħ≠0，式（9）等同于原方程式（3），从而

因此，当 q从 0增大到 1时，Φ（τ；q）从初始猜测解 u0（τ）变化到精确解 u（τ），同时 λ（q）从初始猜测解Ω0变化到物理频率Ω。利用式（10）和泰勒展开定理,将 Φ（τ；q）和 λ（q）展开成如下 q 之幂级数。

式中

由于零阶形变方程式（9）中包含辅助参数ħ，因此只要选择适当的ħ值，就可保证级数（12）和（13）在q=1时收敛，从而有级数解

将级数（12）和（13）代入到零阶形变方程式（9）中，令q相同次幂之系数为零，就可得到高阶形变方程

式中cc表示前面各项的共轭，消去式（21）中的长期项，令式（21）中 exp（±iτ）的系数为零，从而得到方程

由于 A0不为 0，因此由式（22）可得

根据式(17)可得一阶形变方程

即

方程（25）的解为

为了避免高阶形变方程解表达式中出现长期项，必须强迫式（27）中 exp（±iτ）的系数为零，从而得到方程

式中α和β是实函数，将式（29）代入到式（28）并将结果分成实部和虚部，得到

由式（30）和式（31）可得

由式（30）就可确定出Ω1和a的关系，消除高阶形变方程式（27）中的长期项,再根据式（17）可求得u2（τ）。 根据式（6），（23），（26）和式（29）可得 u（τ）的一阶近似解为

由于u（τ）中含有辅助参数ħ，在同伦分析法中起着控制和调整收敛范围的作用，可以通过一些相关级数（如 u′（0），u′′（0）等）的函数曲线来确定合适的ħ值，因为只要取合适的ħ值使级数解收敛，那么所得到的级数解就必是原方程的一个解,从而在u′（0）、u′′（0）等函数和 ħ 的曲线中存在一条水平线段，其对应的ħ取值区域就是ħ的有效区域。

2 数值计算

采用上述同伦分析法对式（1）进行计算，取μ=0.01，ω0=1.0，F=1.0，Ω=1.0。 非线性系数分别为 α1=α2=1.0 和 α1=α2=5.0 时级数 u（τ）给出的 u′（0），u″（0）和 u‴（0）之 ħ 曲线如图 1 所示，很明显 α1=α2=1.0时级数 u′（0），u″（0） 和 u‴（0） 在-1.5≤ħ≤-1.0 时收敛；α1=α2=5.0时在-1.6≤ħ≤-1.4时收敛。通过计算发现,若级数 u′（0），u″（0）和 u‴（0）收敛，级数 u（τ）在整个区域τ∈[0，+∞)上收敛，因此在下面的计算中 α1=α2=1.0 时取 ħ=-1.0，α1=α2=5.0 时取 ħ=-1.5，当非线性系数 α1和 α2为其他值时可通过 u′（0），u″（0）和 u‴（0）和 ħ的关系曲线确定出适合的值。

图 1 u′（0），u″（0）和 u‴（0）～ħ 关系曲线（2阶近似）

图2 为系统在不同a1和a2下的主共振频率响应曲线，曲线中的空心圆为相应的数值解.数值解采用四阶Runge-Kutta算法。由图2可知，应用同伦分析法得到的解析近似解与数值法求得的解是相当吻合的，但由于数值解只能计算稳态解，而同伦分析法不仅适用于强非线性而且也能计算非稳态解。

图2 主共振时的频率响应曲线（2阶近似）

3 结论

文中应用同伦分析方法获得了单自由度平方和立方非线性耦合系统主共振的解析近似解。同伦分析方法通过引入辅助参数可以调节和控制级数解的收敛区域和收敛速度，这是同伦分析方法和其他方法的根本性区别。从同伦分析法与四阶龙格库塔法的比较表明，同伦分析法不仅能求解稳态解而且也能计算非稳态解并且具有较好的计算精度。