一道二次曲线相切问题的辨析

张胜利

【摘要】中学阶段，椭圆、双曲线、抛物线与圆的相切问题，一般要转化为代数问题研究，同时要注意图形的特点，不能与直线和二次曲线相切等同研究。

【关键词】二次曲线 相切

高中数学中，相切问题主要研究的是直线与二次曲线的相切，解决方法是借助几何直观，利用二次方程的判别式为零求解（直线与圆相切直接利用几何特征——圆心到直线的距离等于半径）。对于二次曲线与二次曲线相切，没有给出严格的定义，涉及的问题都是一些比较直观和简单的。但学生会误以为相切都是二次方程的判别式为零，从而产生一些难以解释的疑惑。下面通過一个课堂中遇到的问题辨析二次曲线相切问题的解法。

【辨析4】本例的一个变形问题为：

求圆心在椭圆长轴上且过长轴的离圆心最近顶点的圆半径的最大值。（换一种实际应用的问法：设一个高脚杯的内部形状是“立起来”的椭圆下半部分绕长轴旋转一周形成的，现放置一个小球在杯子中，使得小球可以接触到杯子内部最低点，求小球半径的最大值）

考虑到圆与椭圆已经有了一个公共点，可以直接解方程：

与本例等价的问题还有：已知抛物线C：y2=2px（p>0），F为其焦点，点E（t，0）（t>0）。

（1）若抛物线C上存在点P，使得∠EPF为钝角，求t的取值范围。

（2）若抛物线C上任一点P，都有∠EPF为锐角，求t的取值范围。

圆锥曲线与圆相切问题的背景是曲线的曲率半径，通过上面两个例子，我们知道，在中学范围内，可以利用方程、不等式、函数方法解决几何问题，但要注意代数与几何直观相结合，进行等价转化。这也是解析几何最基本的思想，教学中可以适当利用这些素材，带领学生一起探索，从而加强学生对数形结合的认识，提高探究的能力。