寻圆锥曲线的“源”与“流”

林月理

摘 要：探究2019年高考数学全国Ⅲ卷（理科）21题第（1）小题，分析题目背景，进而进行推广，从特殊到一般，寻求根源，理顺规律，得到一系列的统一性质。探究出试题中数学问题所蕴含的本质阿基米德三角形，拓展出阿基米德三角形的一些性质，并举例说明阿基米德三角形的性质在解决近几年相关高考题中的妙用。

关键词：2019年全国Ⅲ卷（理科）21题;高考解题;推广研究;圆锥曲线;问题本质;阿基米德三角形。

近年来各地高考试题中，圆锥曲线问题，尤其是圆锥曲线中的定点、定值问题，始终是考题中的热点、重点、难点问题。圆锥曲线问题信息量大，综合性强，灵活性高，能比较全面地考查学生的数学核心素养，在高考试题中有着重要的作用。本文通过对2019年全国Ⅲ卷（理科）21题第（1）小题进行探究，逐步发现并解决问题，推广和深化试题的结论，最终探究出试题中数学问题所蕴含的本质阿基米德三角形，进一步探究圆锥曲线中过一个焦点的阿基米德三角形的统一性质，并举例说明这些性质在解决近几年相关高考题中的妙用。

一、真题再现

2019年全国Ⅲ卷（理科）21题

题目 已知曲线C：   ，D为直线   上的动点。过D作曲线C的两条切线，切点分别

为点A、B。

（1）证明：直线AB过定点;

（2）若以  为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE

的面积。

接下来，本文就该题的第（1）小题展开研究。

证明：设        ，则

曲线C在点A处的切线DA的斜率为   ，所以

整理，得     。同理，对于直线DB有

因此直线AB的方程为      ，所以直线AB经过定点  。

二、推广研究

本题中，观察到直线所经过的定点  恰为该抛物线的焦点，而动点D为抛物线C的准线上的一个动点。这一特性是否对一般抛物线成立，下面进行猜想与证明。

结论：对于抛物线C（以       为例）。点D为抛物线C的准线上的一个动点，

过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为点A、B，则直线AB恒过抛物线的焦点。

证明：设         。则

因为  ，所以切线DA斜率 ，所以

整理得      ，同理可得

故直线AB的方程：     ，所以直线AB恒过抛物线的焦点   。

上述结论同样适用于椭圆及双曲线，限于篇幅，此处不再赘述。

因此，我们可以归纳出以下结论：

设点D是圆锥曲线C的准线上的动点，过D的直线DA、DB与圆锥曲线C分别相切于A、B两点，则切点弦AB所在的直线必过相应于准线的焦点F。

三、追溯背景，探寻源流

试题背景

2019年高考数学全国Ⅲ卷（理科）21题解题的关键是要发掘D点与直线AB之间的联系。从数学史的角度看，本题中的“   ”是阿基米德三角形。抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。2019年高考数学全国Ⅲ卷（理科）21题为过抛物线焦点的阿基米德三角形。

四、拓展研究

阿基米德三角形有很多性质，以抛物线     为例，抛物线上的两个不同的点     ，分別以A、B为切点的切线PA、PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德三角形的底边。

定理1（1）点P的坐标为

（2）底边AB所在直线方程

定理2 若阿基米德三角形的底边（即弦AB）过抛物线内一定点    ，则另一顶点P的轨迹为一条直线，其方程为

推论1（1）阿基米德三角形底边上的中线平行（重合）于抛物线的对称轴

（2）设   ，则底边AB的直线方程

推论2 若阿基米德三角形的底边（即弦AB）过抛物线内定点   （m>0）

则：（1）另一顶点P的轨迹方程   ;（2）    （定值）

推论3 若阿基米德三角形的底边（即弦AB）过抛物线的焦点   ，

则：（1）另一顶点P的轨迹为抛物线的准线   ;

定理3 阿基米德三角形中

五、阿基米德三角形在高考解题中的妙用

例1（2012高考福建卷文21）

如图，等边三角形OAB的边长为 ，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p>0）上。

（1）求抛物线E的方程;

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q。

证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

对于第（2）问，注意到直线y=-1是抛物线的准线，根据阿基米德三角形性质推论3（3）可知，

以PQ为直径的圆恒过定点F（0，1）（F为抛物线的焦点）

证明：由（1）得，抛物线E：x2=4y，设点

切线方程：      ，即     ，所以

所以以PQ为直径的圆恒过y轴上定点

例2（2013年高考广东卷理20）

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：x-y-2=0的距离为  .设P为直线l上的点，过点P作抛物线 C的两条切线PA，PB，其中A，B为切點.

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）当点   为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

（Ⅲ）当点P在直线l上移动时，求    的最小值.

分析：由（1）解得抛物线C的方程：

本题中的第（2）问，由阿基米德三角形性质推论1（2）可知，直线AB的 方程：

解;（2）抛物线C的方程为   ，即   ，求导得

设       ，（其中      ），则切线PA，PB的斜率分别为

所以切线PA的方程为       ，即

同理可得切线PB的方程为

因为切线PA，PB均过点P（x0，y0），所以

所以     为方程       的两组解.

所以直线AB的方程为

例3（2018年高考全国理科Ⅲ卷16）

已知点   和抛物线    ，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点.若    ，则k=___.

解：因为   在抛物线    的准线上，     ，

所以由阿基米德三角形性质推论3（3）知，

又因为      ，所以     ，所以

高考试题具有深刻的知识背景，我们要加强对高考试题的深入探究，对其一般性进行推广，这对于拓展解题思路和寻求更多更好的解题方法大有益处。因此，我们要教会学生掌握问题的本质，反思总结解题的思想方法，进一步提高学习效率，最终达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]邓清，盘梦.《启于数学审美，探得问题本质》[J]，中国数学教育2020（1-2）99-106.

[2]谢玉平，段小龙.《探究高考试题创新情境，把握命制试题新原则》[J]，中学数学教学参考2019（11）53-56.

[3]王安国，李娟.《对2019年全国Ⅲ卷理科21题的探究》[J]，中学数学研究2019（8）23-25.

[4]方亚斌.《阿基米德三角形的性质》[J]，河北理科教学研究33-39.

[5]黄俊生.《例谈阿基米德三角形在高考解题中的应用》[J]，福建中学数学35-37.