高中数学立体几何解题技巧分析

张景生

【摘要】目前，在高中立体几何解题过程中有很多学生表现出了思维过于单一的问题，一旦题型稍有变化便难以应付.学生缺少对立体几何知识的深入掌握，其原因主要是教师的教学理念相对滞后，不重视培养学生的空间想象能力、逻辑论证能力，因此影响学生对立体几何解题技巧的掌握.下面，本文将针对高中数学立体几何的几种解题技巧展开详细阐述，旨在提高学生的立体几何解题能力.

【关键词】高中数学;几何;分析

一、高中数学立体几何解题技巧

（一）函数思想解题

函数思想是一种重要的数学思想.面对难度较大的立体几何问题，教师要尝试引导学生利用函数思想解决问题，围绕所要解决的问题，构建函数关系式，再计算函数关系中不等式或者方程解决问题.在运用函数思想解题时，学生可根据题目中的已知条件构造一个二次函数，再通过计算二次函数模型求出问题答案.同时，在立体几何问题解题时，学生可将其转化成三角函数问题，进而让问题计算过程变得更为简单、方便，大大减少运算量.以下面的一道题目为例.

例1如图1所示，在球O中，点P是一个动点，当PA=x过点P时将垂直于AB，假如f（x）可用来表示过点P时的面积，那么要怎样表示y=12f（x）的图像？

在对上述问题进行解题时，为了简化解题过程，可引入函数思想，先设定截面圆半径和球的半径分别是r、R，再依据勾股定理得到r2=-x2+2Rx，由此可求出y=-π2x2+πRx，总结出上述题目中要求的图像是一个抛物线，且开口向下.在立体几何问题解决中，运用函数思想解决问题是一种能够简化复杂问题的解题技巧，教师要引导学生在立体几何知识学习中巧妙利用这一种解题方法.

（二）向量知识解题

空间向量知识可用来解决立体几何问题中的垂直问题、空间角问题、空间距离问题等，它能够让立体几何问题解决过程变得更为简便且快速.因而，教师在发展学生立体几何问题解决能力时，要重视训练学生对向量知识的使用，丰富学生的向量基本知识.但是，在利用向量知识解决具体的立体几何问题时，要重视先构建起立体几何与向量知识间的关系，以向量的方式表示立体几何的点、线、面等已知条件.接着，用类似代数的方法计算问题，得出正确的计算结果.当两者不具备明显的关系时，要尝试建立一个新的空间坐标系，以寻求问题的简便算法.以下面的一道题目为例.

例2已知有一个正方体ABCD-A1B1C1D1，已知这个正方体的棱长是3，E、F分别是这个正方体AA1、CC1边上的一点，而AE又与FC1相等，它们的长度均为1，请证明E、F、B、D1在同一个平面內.

在解决上述问题时，为了提高问题解决效率，可引入向量知识.先构建一个空间坐标系，再清晰标注出空间坐标系中BE、BF、BD1的向量，它们分别是（3，0，1）、（0，3，2）、（3，3，3）.待求出BE、BF、BD1立体几何中三个边的向量值以后，可通过计算向量BD1=BE+BF求证出同在一个平面的问题.

（三）构造辅助图形

在解决立体几何问题时，还可以通过构造辅助图形的方式来解决问题，这是一种常见的问题解决方法，可用于将相对陌生的立体几何问题转换为比较常见的问题，再利用已掌握的解题方法轻松求出问题答案.利用构造辅助图形方式解决立体几何问题，既能够让学生的逻辑思维得到很好的训练，又利于学生学会简化陌生问题.以下面的一道题目为例.

例3如图2所示，已知有一个矩形ABCD，在这个矩形中PD垂直于平面ABCD，边长AB是1，边长BC与PC相等，都是2.现对这个矩形进行折叠，折叠用EF表示，假如EF与DC平行，点E在PD上，点F在PC上.同时，经过折叠操作以后，点P在AD上记作M，那么在MF垂直于CF的情况下，求出三棱锥M-CDE的体积.

在对上述问题进行解决时，面对这样一个陌生的问题，可能会无从下手.针对这一种情况，要指导学生通过构造辅助图形的方式解决问题.

求出MD的值是62，再求出△CDE的面积是38，由此可知这个三棱锥的体积是216.这是一种非常好的立体几何问题解决方法，要善用这种解题技巧.

（四）构建未知关系

在立体几何问题解决过程中，学会构建未知关系十分重要.在对未知关系进行构建时，要先根据题目中已有的条件设定一个未知数.期间，须保证未知数设立的合理性.接着，在已知和未知之间建立起对应关系，灵活解决问题.在整个问题解决过程中，其重点在于避而不求所设立的未知数.未知数只是用来简化立体几何问题计算难度的，用于支撑问题的解答.构建未知关系，这一种立体几何解题技巧，可有效减少题目计算中的运算量，避免因运算量过大而出现错误.以下面的一道题目为例.

例4已知有一个正四棱锥S-ABCD，现要平行于地面截取一个上下表面和侧面面积分别是Q1、Q2、P的多面体A1B1C1D1，求出其对角面面积.

在对上述题目进行计算时，为了降低解题难度，可采取构建未知关系的解题方法.先设立对角面面积、多面体上下表面边长分别是S、a、b，而高和斜高分别是h、h1.设定好这些未知数以后，列出关于S的方程式，即S=2a+2b2h，由此求出对角线面积是24P2-（Q2-Q1）2.通过“设而不求”解题方法，快速完成立体几何问题的解决.

二、当下高中数学立体几何解题教学中存在的主要问题

（一）教师的理念比较落后

当下立体几何的实际教学中，一些教师的理念是存在缺陷的.因为升学方面的压力，很多的高中生在立体几何的实际学习中，总是会追求高分，主要的关注点都在考点上，但是对立体几何的解题灵活性并不是非常重视，导致在立体几何的实际解题中，高中生总是难以灵活应用一些技巧.高中生虽然有一定的学习能力，但是对立体几何的学习还是有着极强的差异性.很多的教师在立体几何实际教学中，并未对高中生采用分层教学，导致一些高中生的学习出现停滞的情况.

（二）高中生的学习思维单一

当下高中生在立体几何方面的学习情况是，很多的高中生学习思维相对单一.出现这种情况，一方面是高中生本身受到一些传统思维方面的限制，对数学学习的思维比较局限，这样立体几何的学习也受到一定的影响，尤其是立体几何类的题目非常复杂，很多时候一旦立体几何的题型有所变化，高中生就很难应付.另外一方面是一些高中生对立体几何进行理解的思维是表面化的，对一些解题方式也并未真正理解原理，这样题型一旦发生变化，高中生还是束手无策，对立体几何知识的应用并不灵活，解题能力也总是无法提升.在立体几何的实际教学中，强化高中生的发散思维，这是教师要高度关注的问题.

（三）课堂整体的氛围缺乏营造

目前，在立体几何的实际教学中，很多教师对数学课的氛围营造并不是非常重视，导致高中生在实际的学习中，总是要面临着非常单一的教学氛围，很多的教师甚至忽视了教学氛围的重要性.立体几何是抽象性极强的内容，高中生理解起来会比较困难，若是教学氛围比较轻松，高中生的学习状态会更好，思维也会更加活跃，若是氛围非常紧张，高中生的思维发展也会受到一定的影响.

三、提升高中数学立体几何解题技巧的策略

（一）建立空间观念，提升空间想象力

在高中阶段，高中生开始对立体几何展开学习，与初中时期学习的平面几何是不同的，这是非常大的改变，需要高中生经过一定的过程.为了让高中生适应立体几何的学习，高中生需要结合学生自身的需求，借助一些立体几何的模型，从而辅助自身的学习.这需要教师组织高中生，对一些立体几何模型进行制作，然后组织高中生对立体几何模型进行观察，结合教材上有关立体几何的一些理论知识，让高中生实现对立体几何的充分感知，让生活和学习实现充分结合.另外，在立体几何的实际学习中，学生可选择教材上的一些立体图形展开观察，可以判断出在这些立体几何的图形中，点、线、面、角存在哪些关系，然后结合题目的要求，用辅助线的方式来进行解题.也就是说，高中生在对立体几何展开学习的时候，要结合自身的情况选择适当的学习方式.教师要在立体几何的实际教学中，强化高中生的空间观念以及空间想象力，促进高中生对立体几何的深入理解，为立体几何的解题做好准备.具体的措施：在立体几何的实际教学中，教师可以让高中生尝试自行制作一些立体几何的模型，可以从简单的图形入手，比如正方体，然后逐渐进行复杂一些的模型制作，让高中生逐渐在立体几何模型的制作中，找到立体几何的学习要求，并不断对立体几何中的一些点、线、面、角关系进行观察.然后可以结合立体几何的具体题目进行延伸，让高中生不断对立体几何类的问题形成解题能力.在进行立体几何实际教学中，教师要注重强化高中生立体几何的绘图能力，也是要从简单到复雜，先进行一些简单立体几何图形的绘画，然后逐渐到一些复杂的体型，让学生了解一些最基本的技巧之后，结合学生立体几何的具体题目，结合学生自身空间想象力进行绘图，从而找到最简单的解题方式.

（二）不断强化高中生综合分析以及逻辑论证能力

在立体几何的教学中，教师要让高中生结合自身的一些生活经验，制作一些立体几何的模型，用这种方式来强化高中生的空间想象力，同时可以让高中生结合以往平面几何的一些知识，进行类比学习.学生经过对知识的分析，并得到命题之后，要结合一些例子对命题谨慎验证.教师在立体几何的实际教学中，不要太急于结论，学习的过程要注重循序渐进，不断强化高中生的学习能力，从局部入手不断扩展到整体，锻炼高中生的逻辑推理以及论证技能，在进行立体几何解题的时候，可以让高中生的能力不断提升.另外，学生对立体几何展开学习的时候，要从不同的角度，对立体几何进行了解以及掌握，比如一些平行问题以及距离的问题，这些问题经过综合性的处理之后，可以让高中生的综合分析能力得到提升.对立体几何的问题展开综合处理，这样可以让高中生的逻辑推理得到强化，可以强化高中生的论证能力，是非常重要的一个学习过程.

（三）发散思维，综合应用多种解题技巧

在立体几何的实际解题中，要注意眼光开阔，不要仅仅局限在立体几何方面，要注重知识体系的综合利用.很多问题是非常具备综合性的，因此对解题技巧展开应用，要求学生有一定的综合性思维，从而让立体几何的问题得到真正解决.详细来说，教师在立体几何的实际解题中，可以将数学领域的函数思想以及转化思想等运用到解题中，从而简化立体几何的解题，提升实际解题的效率.因此在立体几何的实际教学中，要注重强化高中生的发散思维，能将各种解题技巧充分利用到题目中，让高中生的解题效率得到提升.

教师在立体几何数学知识讲授过程中，教会学生一些简便、高效的解题技巧是十分重要的，利于锻炼学生实际问题解决能力，促进学生慢慢养成主动寻求简便解题方法的习惯.对于学生立体几何解题能力的培养，要重视引导学生运用函数思想、向量知识解决立体几何问题.同时，要科学引导学生学会构造辅助图形，构建未知关系，以利用更正确的解题技巧大大提高解题效率，积累丰富的立体几何解题经验.

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