Lotka-Volterra 竞争模型全局解的存在性

武瑞丽， 李军燕， 钱小瑞

（四川大学 锦城学院，四川 成都611731）

Lotka-Volterra 竞争模型是S -K -T 生物模型的退化形式.S-K-T生物模型最早是由生物学家Shigesada等［1］于1979 年提出的，他们为了研究2 种相互竞争的物种在种群内部和种群间繁殖压力下的空间分布情况，给出了一个竞争模型，该模型（S-K-T）具有如下形式

其中，u和v为2 种相互竞争生物物种A 与物种B的种群密度，Ω⊆R2为有界光滑区域，代表2种物种的生存区域，系统参数ai、bi、ci和di（i=1，2）均为正常数，d1、d2分别表示物种A和B 的随机扩散率，a1、a2分别表示物种A和B的固有增长率，b1、c2分别表示物种A和B 的种群内部竞争系数，c1、b2分别表示物种A和B的种群间的竞争系数，ρ11、ρ22分别表示2 物种种群内部的自扩散率，ρ12、ρ21表示物种A和B的交叉扩散率，即2 种物种之间的繁殖压力强弱.齐次Neumann边界条件代表物种在区域Ω的边界处与外界无交换，n为单位外法向量.

近来，人们对带交叉扩散项和自扩散项的S -K-T模型（1）进行了广泛且深入的研究.在一定的初边值条件下，文献［2 -3］得到模型（1）的解是局部存在的，即当初始值φ（x），ψ（x）∈W1，p（Ω）（1≤p ＜∞），对T=ε 时，问题（1）存在局部解.随后，文献［4 -5］考虑了问题（1）在一维空间中整体解的存在和唯一性.进一步地，文献［6］证明了在任意n维空间中模型（1）的正平衡解的存在性.此外，文献［7］证明了当ρ11=ρ22=0 时，问题（1）存在全局解.

当不考虑自扩散项和交叉扩散项的情况时，即当ρ11=ρ12=ρ21=ρ22=0 时，模型（1）退化为经典的Lotka-Volterra竞争模型

模型（2）已经被许多学者所研究，文献［8］证明了问题（2）不存在非常数的正稳态解，且当t→∞时，问题（2）的非负解会趋近于常值稳态解.进一步，文献［9］研究了当区域Ω为凸集时问题（2）稳态解的存在性.更多关于Lotka-Volterra竞争模型的研究结果可以参见文献［10-12］.

本文讨论了Lotka -Volterra 竞争模型（2）全局解的存在性.运用经典的Galerkin方法及能量估计得到Lotka-Volterra竞争模型（2）在空间L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）中存在全局弱解.此外，还讨论了Lotka-Volterra竞争模型（2）相应稳态方程解的存在性.由弱连续算子的锐角原理得到Lotka-Volterra竞争模型（2）的相应稳态方程在空间W1，2（Ω，R2）∩X中存在弱解，其中X、Y、Z的定义如（3）式.弱连续算子的锐角原理是文献［13］首次提出并运用的，该理论具有一般性，可以解决一大类完全非线性偏微分方程解的存在性问题，如文献［14］运用带时间的弱连续算子锐角原理（简称T -弱连续算子理论）证明了二维不可压缩Marangoni问题的全局弱解存在性，更多详细内容可参阅文献［14 -18］.

1 预备知识及锐角原理

首先，给出一些重要的函数空间及全局弱解的定义.

令Ω⊆R2是一个有界开集，Hτ（Ω）（τ =1，2）是通常的Sobolev 空间，其范数记为‖·‖Hτ.L2（Ω）是Hilbert空间，其范数记为‖·‖.令X是一个Banach空间，对任意p=（p1，p2，…，pm），pi≥1（1≤i≤m），定义

其中|·|i（1≤i≤m，m≥1）是X上的半范，且

其范数定义为

而对于p=∞，记

在［0，T］上除零测集外一致有界｝，其范数定义为

同理，可定义

下面根据文献［13］中的定义1.13 给出问题（2）的全局弱解的定义.

定义1.1假设φ，ψ∈Y，则对任意T＞0，（u，v）称为问题（2）在（0，T）×Ω 上的全局弱解.若对任意（α，β）∈X和任意t∈（0，T）都有

其次，介绍弱连续算子的锐角原理.弱连续算子理论是解决非线性椭圆方程解存在性的有力工具，这里主要介绍弱连续算子的定义和弱连续算子的锐角原理，该原理在文献［18］中首次建立并运用.

令X是一个线性空间，X1、X2是X在各自范数下的完备化，令X2是自反Banach 空间，X1是可分Banach空间.X1*是X1的对偶空间，且X⊆X2.

又假设存在一个线性映射L满足L：X→X1是一对一且稠密的线性算子.

下面，给出弱连续算子的定义.

2 主要结果

首先，给出问题（2）解的全局存在性结果，并运用经典的Galerkin方法证明该定理.

定理2.1令初值（φ（x），ψ（x））∈Y，则问题（2）存在全局弱解

证明根据标准的Galerkin方法，令是Z和Y的公共正交基.记

则Zk是Z的子空间，Pk：Z→Zk是相应的正交投影.

方程（2）的近似解具有如下形式：

这里是依据Stokes算子的特征函数展开的，其中系数cik和dik可通过uk和vk满足的如下方程解出

其中a=max｛a1，a2｝.

注意到：

结合（13）-（15）式及Gronwall不等式，可得：

不等式（16）-（18）意味着近似解（uk，vk）是全局存在的，并且（uk，vk）在L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）中对任意0 ＜T＜∞是有界的.因此，存在（uk，vk）∈L2（（0，T），Z）∩L∞（（0，T），Y）及子序列.为了方便，这里仍记为｛（uk，vk）｝，使得

只需证明（20）式右边的每一项都是一致有界的.

对任意h（0 ＜h＜1）和（α，β）∈X，易知：

因此，根据（20）-（25）式可得

其中，C是与k无关的常数，则对任意固定i，cik关于t∈［0，T］是一致有界且等度连续的.根据Arzela -Ascoli定理可知

因而有

类似地，对任意β∈X有

根据引理1.2，并结合（27）和（28）式很容易知，在L2（（0，T）×Ω）中有

从而定理得证.

下面，给出稳态方程解的存在性.与问题（2）相对应的稳态方程为

关于方程（30）的弱解定义如下.

定义2.1如果对任意（α，β）∈X1，（u，v）∈Z满足下面等式

则称（u，v）是方程（30）的弱解.

根据弱连续算子的锐角原理知，问题（30）有如下存在性定理.

定理2.2令Ω⊆R2足够光滑，问题（30）存在弱解（u，v）∈Z=W1，2（Ω，R2）∩X.

证明首先，定义映射为如下内积形式

对任意Φ =（u，v）∈Z，Ψ =（α，β）∈X1，也即（32）式定义了一个空间X1上的线性泛函另外，线性映射L可取为

这里I是包含映射.

其次，验证锐角条件（4）.由（32）式知，对任意Φ∈X有

其中，d= min｛d1，d2｝，a= max｛a1，a2｝.又结合Poincáre不等式知，取d足够大，有

Φn→Φ0于Lp（Ω，R2）中， ∀1 ≤p ＜∞.因此，（34）式显然成立.定理得证.