一道2020年苏锡常镇四市高三调研试题的解法探究

安徽省滁州中学(239000) 刘稳侠

题目(2020年苏锡常镇四市高三调研试题)如图, 在ΔABC中,AB= 4,D是AB的中点,E在边AC上,AE= 2EC,CD与BE交于点O, 若OB=则ΔABC面积的最大值为?

以下我们分两步给出多种解法,供大家学习与借鉴.

解题思路第一步:确定点O位置;第二步:计算面积最大值.首先我们给出第一步的6 种解法.

解法1(向量法:三点共线)设=又E,O,B三点共线,所以所以解得故即点O是CD的中点,由题所以OB=即

解法2(向量法:定比分点)

引理在ΔABC中,与BE交于点O, 连接AO, 则

故点O是CD的中点, 由题OB=所以OB=即

解法3(几何法:构造平行线)过点D作DF平行于BE交于点F,如图1.因为D是AB的中点,则点F是AE的中点,又因为DF平行于OE,所以点O是CD的中点,由题OB=所以OB=即

图1

图2

解法4(几何法:构造三角形重心)如图2, 延长BC,使CF=BC, 连接AF, 延长BE交AF与点M, 则点E是ΔABF的重心,因为CD平行于AF,且AM=MF,所以OC=OD,由题OB=所以OB=即

解法5(杠杆原理, 即塞瓦图形标数法)记A,B,C,D处质量分别为mA,mB,mC,mD, 设在A点处放置一个质量为1 的质点, 把AC看成杠杆,E点为支点, 由杠杆平衡条件, 则同理可得mB=mA= 1, 又mD=mA+mB= 2, 所以= 1, 即OC=OD, 由题OB=所以OB=,即

解法6(代数法)以D为坐标原点, 建立如图3 所示平面直角坐标系.则A(2,0),B(-2,0), 设C(x0,y0), 则

直线CD方程为

直线BE方程为

图3

以下给出第二步的5 种解法.

解法1(建系,构造阿氏圆方程)以D为坐标原点,BA为x轴,建立如图3 所示平面直角坐标系,则A(2,0),B(-2,0),设O(x,y), 由OB=可得(x+2)2+y2=2(x2+y2), 化简得(x-2)2+y2= 8(y ̸=0), 即O点在以(2,0)为圆心,为半径的圆周上(去掉与x轴相交的两点),所以SΔABC= 2SΔAOB≤即ΔABC面积的最大值为

解法2(用阿氏圆性质求最值)阿氏圆的性质:设A,B是平面内的两个定点,平面内动点C到点A的距离和点B的距离的比值λ(λ ＞0 且λ ̸= 1),则点C的轨迹是圆,且圆心在AB上,半径

解法3(代数法:设C点坐标)以D为坐标原点,BA为x轴,建立如图3 所示平面直角坐标系,则A(2,0),B(-2,0),设C(x,y),则由OB=可得化简得(x-4)2+y2=32(y ̸=0),当x= 4 时,|y|max=所以ΔABC面积的最大值为SΔABC==×4×

解法4( 函数最值)设|OC|=|OD|=x, 则|OB|=记∠BOD=θ, 由余弦定理得,所以, sin2θ= 1-sinθ=其中-x4+ 24x2-16 =-(x2-12)2+ 128 ≤ 128,所以(SΔBOD)max=(SΔABC)max=4(SΔBOD)max=即ΔABC面积的最大值为

解法5(巧用向量)

图4

所以当|b|=6 时,ΔABC面积取最大值为