漫谈初中数学数形结合思想

亢振国

摘要：说起数学，我们避免不和抽象性和枯燥结合在一起，而数与形的结合在数学中可以避免数学的抽象和枯燥。“数”与“形”是数学领域两大研究主题，“数”就是数量关系，准确、可操作、易于掌握，“形”则是空间形式，生动、直观、易于理解.数形结合可以把二者进行转化统一，从而结合二者的优势，达到认识数学本质的效果.

关键词：数学;数与形;应用

在初中数学课堂中运用数形结合思想方法进行教学，不仅能让学生理解数学知识的本质和内涵，还能提高课堂效率、优化教学方法.下面本文将从数变形、形变数两方面给出若干教学设计实例，从中体现数形结合思想在初中数学教学中的应用.

一、数变形，直观发现数的关系

在数学学习的过程中，有些数量关系十分抽象，学生难以理解，而图形的优点就是直观、形象.考虑到数与形本来就存在一种对应关系，我们可以把“数”转换成“形”，利用图形解决有关数量的问题.数变形的意义在于：（1）将抽象的数量关系转化为几何直观，可以避开复杂的计算或推理;（2）通过直观的几何图形帮助学生理解和阐述抽象、难懂的代数关系，从而简化问题解决的过程;（3）优化教师的教学过程，加深学生的理解，提高学习效率.下面以一道例题来说明如何在教学中实现数变形.例1求|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值.分析：对于刚学习完绝对值知识的学生而言，解这道题是存在一定难度的.这时便需要教师一步步引导学生将其与已经学过的知识建立联系：将-1、2、3作为三个定点A、B、C，那么x便可以看作一个动点D，绝对值的运算可以看作求两点间距离，此时我们只需要借助数轴找到定点A、B、C和动点D，便可以找到解题思路.在此过程中，教师要引导学生观察、分析，借助数轴画图，数变形贯穿教学过程的始终，进而解决绝对值函数的最值这一难点，并借助这个例题点明“数变形”的价值.

二、形变数，挖掘图形中的隐含信息

众所周知，图形的优点就是形象、直观，可以将抽象的东西直观展示出来，但是有的时候也会有图形无法精确表示的东西，如平面直角坐标系中不在格点上的点，我们需要借助有序数对才可以准确地描述它的位置，求二次函数与坐标轴的交点坐标时可能需要借助代数计算才可以得到，在这些情况下我们都不得不借助“数”来分析“形”.利用数量来解决图形的问题，要充分利用几何图形的性质和意义挖掘出图形中的隐含条件，把图形问题转化成数量问题，并通过分析计算、逻辑推理解决图形问题.形变数的意义在于：（1）利用“数”的精确性和严密性刻画出模糊的图形信息;（2）利用已知的几何信息并结合代数方法找到数量之间的关系，弥补空间想象上的不足.下面以勾股定理的应用为例来探讨一下形变数在教学中的体现.例2《九章算术》中记录了这样一个问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭長各几何.”（如图3）你能给出解答吗？分析：由于勾股定理是典型的数形结合问题，所以许多问题都可以通过直角三角形来分析.这道题是非常典型的勾股定理的应用，需要先从题目给出的图形中分析出直角三角形，再结合勾股定理进行计算，从而解决题目中的图形问题.

教学片段：师：同学们，通过阅读例2，你们获得了哪些数学信息呢？生1：葭生池中央，所以B′C的长度是5尺，葭出水一尺，所以BC的长度是1尺.师：（追问）很好，这是题目直接告诉我们的信息，还有没有隐藏着的信息呢？认真阅读题目，你能发现葭有什么变化吗？生1：我发现葭有两种状态，一种是在池中央出水一尺，另一种是葭赴岸与岸齐.师：（再问）这两种状态下，有什么量是不发生改变的？生1：葭长不变，也就是AB=AB′.师：对，这个隐藏信息是我们解题的一个突破口.还有没有同学能发现其他的隐藏条件呢？生2：∠ACB′=90°，三角形ACB′是直角三角形.师：是的，葭与水平面是垂直的，结合这个隐藏条件，你们打算怎么解决这个问题呢？生3：运用勾股定理解决.师：（追问）对哪个直角三角形用勾股定理？知道三角形中哪些条件？生3：在直角三角形ACB′中，∠ACB′=90°，B′C=5尺.师：（再问）勾股定理是关于直角三角形三边关系的，可是在直角三角形ACB′中我们只知道其中一边，怎么办呢？生3：可以设AC长为x尺，则AB长为x+1尺，即AB′为x+1尺.师：你说得非常好！AC和AB′是有联系的，设出一个未知数，就可以把两个量都表示出来，这样直角三角形的三边就都表示出来了，也就可以用勾股定理了.下面大家动手把完整的解题过程写一下.师：通过这道习题，相信大家对勾股定理的应用已经有了初步了解，在解决这类问题时，我们通常需要先从题目中挖掘出直角三角形模型，然后分析出数量关系，再运用勾股定理解答，把形变数.由以上两例可见，

结束语

总之，数形结合思想方法在初中数学学习中有着广泛的应用，在教学过程中，教师如能有意识地渗透数形结合的思想方法，将对学生理解学习内容的数学本质有事半功倍的效果.在一些涉及数形结合内容的教学中，教师可从“形”和“数”两个方面出发，引导学生掌握相关对象的代数意义和几何意义，并同时从“数”与“形”的角度寻求解决方案，深刻领会这些方案之间的本质联系.

参考文献：

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[2]李雪川;高中数学数形结合思想的研究和应用[D];河北师范大学;2014年

[3]刘红艳;高中生运用数形结合思想解题的调查研究[D];南京师范大学;2014年

[4]何彩;基于超级画板下的数形结合思想培养的教学研究[D];延边大学;2015年