从有限到无限，逐步感知极限思想

鲍庆贺

[摘 要]极限思想是小学常见的数学思想之一，蕴含于许多知识之中，但极限思想却是学生最难以理解的思想之一。在教学“圆的面积”过程中，教师应层层深入，化抽象为直观，从有限到无限，让学生逐步感知极限的存在，并充分借助可以直观化的教学工具展示教学过程，提升学生对极限思想的认识。

[关键词]极限思想;圆的面积;几何画板

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）02-0062-02

在一次借班上课前，知道了要上“圆的面积”这一课，一位学生便问道：“要带圆规吗？”我答：“不需要。”学生听到后十分诧异，可见，他们已经根深蒂固地将圆列为一个“特殊对象”了，根本不可能把“圆”與“方”扯到一起。如何打破这种想法？何不从圆与方之间的关系入手，让学生感受到“圆”与他们认识的“方”之间的关系？

一、感知圆与方的联系，在想象中感受无限的存在

要求圆的面积，就必须将圆转化成长方形、平行四边形等基本图形。如何设计教学才能让学生自然而然地感受到圆与方之间存在联系呢？我从圆与边长为圆的半径的正方形的面积出发。

师：这里有一个圆，如果以它的圆心为一个顶点，以它的半径为边长画一个正方形。你知道正方形的面积吗？（半径为r）

生1：半径乘半径。

生2：可以直接说成r2。

师：接着画3个这样的图形，得到一个大的正方形，它的面积是多少？

生3：4×r2。

师：在圆内也可以画一个最大的正方形，你知道它的面积吗？

生4：大正方形的面积是4r2，把它平均分成8份，这个小正方形刚好占了4分，是它的一半。

生5：我发现只要将下面的两个小三角形移上去，就变成了两个小正方形，所以它的面积也是2r2。

师：在这方与圆、圆到方之间，能否估计圆的面积的范围呢？

生6：圆比大正方形小，比圆内的正方形大，所以它的面积大于2r2小于4r2。

师：我们通过观察和推测，知道了圆的面积和圆的半径好像有一定的关系，但它们之间是否有关系呢？具体的关系是怎样的？还需要我们继续研究。

师：刚才我们在圆内画了一个最大的正方形，现在我们在圆内画一个最大的正五边形、正六边形……继续画下去，你有什么发现？

（课件呈现：圆内的正多边形边数逐渐变多）

生7：正多边形变得越来越像圆了。

生8：当边数变得很多的时候，它就成了圆。

生9：圆就是一个正无数边形。

师：是啊，我们和古代数学家刘徽想到一块儿了，他在《九章算术注》中提出了……（课件出示：“割之弥细，所失弥少;割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”）

师：“割之又割，以至于不可割，则与圆合体。”你能说说这句话的意思吗？

生10：当正多边形的边数足够多，且没法再多的时候，它就变成圆了。

师：是的，数学学习，有时候看不到的，可以借助想象。想象让我们发现，圆变成了一个正无数边形，一个曲线图形就变成了一个直线图形。

从圆与边长为圆的半径的正方形入手，再引出圆的外切正方形和内接正方形，可以帮助学生从范围上估测圆的面积，发现圆的半径和面积存在着一定的关系。而后再从内接正方形出发，接着画其他内接正多边形，让学生从视觉上感知到“随着边数的逐渐增多，正多边形与圆越来越接近”，并借助想象初次感知无限的存在，再借古代数学家的想法印证学生的猜想，让学生既能体验到成功的喜悦，又能感知古代数学家的大智慧，继而产生继续猜想的意愿。

二、在想象中摆拼，化圆为方，发散思维

常规的圆面积探究往往会让学生直接把圆平均分成16份、32份等，然后告知学生去拼成平行四边形，这样的一个过程，看似引导学生找寻圆和近似平行四边形的关系，但学生只是按照要求操作了一番，根本没有经过真正的思考和探究。为什么平均分成16份就能研究圆的面积？为什么要去拼成一个平行四边形？学生不知道，可能有些教师也不知道。要想让思维真正发生，就必须给学生足够的空间，放手让他们去想象、去创造。

师：我们无法将正无数边形呈现出来，也没办法去研究圆和正无数边形之间的关系，但是我们知道在解决复杂问题的时候可以从简单的情景入手，找寻它们的共同点。下面我们就以正十六边形为例展开探索。

师：咱们在探究平行四边形面积时是如何操作的？

生1：沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形或者梯形，将它平移到另一边，这样拼成了一个长方形，就能求出它的面积了。

师：是啊，我们在学习的时候经常需要把未知的问题转化成已知的内容。你也能按照这样的方式，剪一剪、拼一拼，把圆转化成一个认识的图形吗？

师：在操作的过程中要想一想，可以将圆拼成我们已经认识的什么图形？转化后的面积和圆又有着怎样的联系？

（学生动手摆拼，有的拼成了平行四边形，有的拼成了三角形，还有的拼出了梯形）

师：拼出图形与圆相比，什么变了，什么没变？

生2：形状变了，面积没变。

有了前面的教学，学生对“无限”已经有了一定的认识，也发现根本没有办法去探究一个正无数边形与圆之间的关系，所以通过一个“复杂问题简单化”的方法，引导学生找寻它们之间的共同点，便可以展开研究，将圆等分成16份也就顺其自然了。

在动手操作这一环节，教师没有直接告诉学生要拼成什么图形，而是先让他们回忆平行四边形面积的探究过程，化未知为已知，激发学生利用旧知解决新问题。虽然探究有一定难度，但是在摆拼的过程中，每个学生无不在思考中探索、在思考中体验，这可以更好地帮助他们与自己对话，学有所思，让思维看得见。因为没有了束缚，学生的思维都发散开来。因此，教师应该把课堂还给学生，把时间留给他们。

三、借助动态演示，直观感受极限思想

本节课的难点在于如何在有限的操作和想象中让学生直观感受极限思想。虽然前面已经借助正多边形让学生对“无限”有了一个初步的感受，但这种感受只停留在表面，学生还是感觉非常抽象的。怎样才能直观感受极限思想呢？几何画板动态演示，就能帮助学生观察、想象，更直观地感受极限思想。

师：转化后的图形是我们认识的图形吗？能计算它们的面积吗？

生1：它们分别是近似的长方形、三角形、梯形。

生2：现在只是将圆分成了16等份，所以它的底边是有弧度的，但是如果分的份数足够多，底边就越来越直，最后就变成了直的。

师：真的是这样吗？眼见方为实，我们一起来看一下。

借助几何画板动态演示：

师：你有什么想说？

生3：这条底越来越直了。

生4：我发现越来越像平行四边形了。

生5：到最后变成一个长方形了。

......

如果只是告诉学生把圆平均分成16等份、32等份、64等份……让学生去想象，这样直白的文字并没有给学生一个直观的感受。但借助几何画板将圆分成16等份，再通过“加”的运算，使圆的份数逐渐增多，学生便能直接观察到这样一个变化过程，发现底边变得越来越直，斜边也变得越来越直，圆最终变成了一个长方形。学生在几何画板的动态演示过程中慢慢体味无限等份，感受变化，最终也就明白了这抽象的、难理解的极限思想。

【教学反思】

从圆与方的关系出发，首先，让学生感知圆的面积的大致范围，感受到圆与半径存在着一定的关系，引导学生借助想象将圆与正无数边形联系在一起，即初步体验了“无限”的存在，又将圆与方、曲与直巧妙联系在一起，让圆变得不再陌生;接着，引导学生从平行四边形面积的探究过程入手，动脑思考、动手操作，充分给予他们思考的空间;最后，操作后观察拼成的图形与直线图形的区别，让学生继续思考无限分割的必要性。在这过程中，几何画板动态演示边的变化，给学生以视觉上的冲击，将极限思想巧妙渗透给学生，学生在悄无声息中便体验到了面积公式推导的合理性。

极限思想是基础数学的重要思想，虽然很抽象，但也贯穿于小学教材。作为课堂教学的组织者和引导者，教师要给予学生充分的思考时间和空间，并在适当的时候借助一些教学工具将极限思想直观呈现给他们，为他们以后运用极限思想解决问题提供帮助，培养他們的逻辑推理能力和抽象意识。

（责编 金 铃）