小学数学概念的建构与教学策略

山东省滨州市邹平市第一实验小学 梁 静

概念是数学学科最基本的组成要素，是数学学科的“细胞”。学生数学概念的获得过程本质上是对概念建立心理表征的过程。概念理解是对给出的概念及其定义进行解构并形成属于学习者的认知的过程；概念建构则是指基于原有经验或认知基础，通过思维加工学习素材并形成新的概念的过程。对于小学生的数学学习而言，概念理解是基础，概念建构空间则发生在一些重要概念的学习上。

一、应用情境，促进学生的概念理解

数学概念是抽象化的，但却具有经验化的特质。如何促进学生对概念的理解？一个重要的策略就是情境化。情境化的策略，是为了在抽象的数学概念与学生的形象化思维之间搭建桥梁。在情境中，学生能深化对概念的感受与体验。同时，情境还能激发学生对概念认知的兴趣，调动学生概念思维的积极性，发掘学生概念探究的创造性，让学生能动地建构概念。因此，教师要依据学生的认知规律，将概念通过情境还原为对象、现实、场景、模型等。

以教学“小数的初步认识”（苏教版三年级下册）为例，相比较分数而言，小数在日常生活中有着更为广泛的应用。因此，在引导学生认识“小数”这一概念时，笔者创设了多样化的情境，如“商店里商品的标价”“塑料袋中的商品质量标识”等。在情境中，学生一方面能感受、体验到小数与日常生活的关联，认识到小数学习的重要性，另一方面能对小数展开生活化的思考，即这些小数表示什么意思？在此基础上，笔者引导学生建构小数的意义，让学生讨论、交流“0.5元是什么意思”“0.7米表示多少”“0.6米与1米之间有怎样的关系”“0.7元与1元之间有着怎样的关系”等。通过情境，促生学生的问题意识，调动学生的探究潜质，引导学生积极参与小数学习。通过多样化的情境，学生能有效地进行学习，从而将“1元”“1米”等平均分成10份，表示这样的一份或者几份，从而深刻感悟小数的内涵。

生活中存在着数学概念的原型。情境是学生概念建构的基石，为学生深入理解概念提供了有效的支撑。著名教育心理学家维果茨基认为：“数学概念直接教授是不可能的，而且也是没有效果的。”将概念寓于情境之中，引导学生进行生活化的感知，进而丰富数学概念的现实背景。数学概念还具有意象性的特质，而情境能丰富学生的概念表象，让学生把握概念与生活千丝万缕的关联，从而有效地促进学生对概念的理解。

二、应用活动，促进学生的概念建构

活动是数学概念建构的重要方式。在小学数学教学中，教师要创设富有挑战性的学习活动，让学生在活动中感知概念、表征概念、建构概念、转变概念。APOS理论认为，学生数学概念的建构与转变必须经历活动、程序、对象和图式四个阶段。数学概念学习中的活动，不仅仅包括外在的操作、实验等活动，而且包括内在的回忆、猜想、判断，以及推理等相关活动。活动能帮助学生积累概念建构经验，教学中，教师不仅要引导学生参与数学活动，更要引导学生反思数学活动，从而通过活动建立数学概念模型。

以“认识周长”（苏教版三年级上册）中的“周长”概念建构为例，“周长”这一概念不是通过教师机械、枯燥说教就能让学生理解的，而必须引导学生经历数学化活动。在教学中，笔者出示多种规则的与不规则的、直线的与曲线的图形，让学生“摸一摸”“描一描”“画一画”“量一量”“算一算”。在这个过程中，笔者还让学生充当“小甲虫”进行角色扮演，实地绕着这些比较大的规则的、不规则的图形的边线走一圈。这样的角色扮演活动，充分调动了学生学习周长的兴趣，调动了学生认知周长的积极性。有学生在绕着边线“走动”的时候，还在起点处做上一个标记，认为从哪里出发还要回归到哪里，由此在教学中融入、渗透了“封闭”的概念。通过有效的概念学习活动，引导学生抽象概括。经过多样化的数学活动，让学生大脑中的“周长”概念的模型建立并逐步走向丰满、具象。有学生指出，周长就是边线一周的长度。

美国著名教育心理学家布鲁纳认为，学生建立一个概念的过程是从动作表征过渡到图像表征再到抽象的符号化表征的一个过程。引导学生进行积极的数学活动，让学生经历从具体到抽象的数学化过程，有助于学生对数学概念进行意义建构。同时，活动改变了传统的死记硬背、灌输为主的概念教学方式，真正体现了教为主导、学为主体。

三、应用变式，活化学生的概念表征

学生对数学概念的表征是多样的，比如描述式的、图画式的、定义式的等。教师可以运用变式，活化学生的概念表征。通过变式，变换概念的外在条件，进而能让学生舍弃概念的非本质属性，提炼出概念的本质属性等。只有真正掌握概念的本质属性，才能领悟概念的精髓。

例如“高”这一概念，是小学生难以理解的一个数学概念。在日常生活中，学生会形成关于“高”的前概念，这些前概念认为，竖直向下的线段就是高。此时，教师可以应用“变式”，活化学生的概念表征。如在教学“平行四边形的高”“三角形的高”以及“梯形的高”时，笔者不仅让学生画不同种类的高，更是变换平行四边形、三角形和梯形的位置、方向等。以“三角形的高”的教学为例，笔者在教学中分别让学生画钝角三角形、直角三角形和锐角三角形的高，并让学生从三角形的三个顶点分别向底边作垂线，等等。通过多元变式，学生逐步舍弃了高的非本质属性，形成了对高的本质属性理解。在这个过程中，学生深刻认识了“距离”“垂直”等相关的概念，厘清了数学中的“距离”与生活中的“距离”概念的不同、数学中的“垂直”与生活中的“垂直”概念的不同。变式让学生从多个角度、多个层面等来认识数学概念，从而领悟到数学概念的本质精髓。

变式不仅有助于学生理解、掌握数学概念的本质，而且有助于深化、拓展学生对数学概念的认知。在数学教学中，教师不仅要应用正向变式强化学生的认知，而且可以应用反向变式厘清学生的认知，从而促进学生对数学概念的深层理解和深度迁移。

四、应用结构，建构学生的概念体系

学生的数学学习不是概念的简单堆积，而是存在着一定的逻辑关联，具有一定知识结构的系统。在数学教学中，教师要帮助学生建构数学概念结构、概念体系，从而让学生能有效地应用概念。在学生的数学概念体系、概念结构之中，核心概念发挥着至关重要的作用。在数学教学中，教师应当引导学生围绕核心概念，让学生把握概念之间的层级关系，有效地帮助学生建构概念。

例如，教学“认识线段、直线和射线”（苏教版四年级上册）这一部分内容时，教师不仅仅要让学生通过直观建立线段、射线、直线的概念，即线段、射线、直线都是直的，线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点，更要将线段、直线、射线等建立关联。如“将线段的一端无限延长，就得到一条射线”“将线段的两端无限延长，就得到一条直线”等，引导学生有效地比较射线、直线和线段的概念，从而让学生深刻认识到“线段是直线的一部分”“射线也是直线的一部分”。只有当学生能把握直线、射线和线段之间的关系，认识到线段是直线的一部分、射线也是直线的一部分时，学生才能对线段、射线、直线的概念理解走向深入。学生在遇到数线段、数射线时，才能根据线段、射线等概念定义有效地数出。通过数学概念之间的关联，才能让学生有效地建构概念体系。

小学数学概念前后关联密切、系统性强，在数学教学中，教师要让学生建立概念之间的层次关系，从而更深入地把握概念的本质，帮助学生有效地建构数学概念体系、结构等。只有把握了概念之间的关联，才能促进学生对数学概念更有效地理解、迁移和应用。在概念教学中，教师要以学生为中心，让学生整体、动态地把握概念本质，帮助学生积累概念认知经验，有效地发展学生的概念认知力。