一类完全三阶边值问题解的存在性

孙晓召, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

三阶常微分方程边值问题在物理学和应用数学等领域应用广泛[1-2], 可用于描述三层梁、 电磁波、 重力流及带有固定或变化横截面弯曲横梁的扰动等实际问题. 考虑下列非线性项f含有未知函数导数项u′,u″的完全三阶边值问题:

(1)

解的存在性, 其中f: [0,1]×3→连续. 对f不含任何导数项的特殊情形, 目前已有很多研究结果[3-6]. 对f含一阶导的三阶边值问题:

(2)

文献[7]通过建立新的极大值原理, 用上下解方法获得了边值问题(2)解的存在性结果. 对一般的完全三阶边值问题:

(3)

文献[8]在f(t,x,y,z)关于x,y,z超线性增长的情形下, 用Leray-Schauder不动点定理得到了边值问题(3)解的存在性结果; 文献[9-10]在f(t,x,y,z)关于x满足单调性条件, 且关于z满足Nagumo条件的情形下, 用上下解方法得到了完全三阶边值问题解的存在性结果, 涉及的边界条件为

对完全三阶边值问题(1), 文献[11]在f(t,x,y,z)关于x,y,z一次增长的情形下, 用Leray-Schauder不动点定理得到了边值问题(1)变号解的存在性结果; 文献[12]在f(t,x,y,z)非负, 且关于x,y,z超线性增长的情形下, 用锥上的不动点指数理论得到了边值问题(1)正解的存在性结果. 但上述已有结果中对f超线性增长的情形, 均要求f(t,x,y,z)关于z的增长满足Nagumo条件, 且Nagumo条件限制f(t,x,y,z)关于z的增长至多二次.

本文研究在f(t,x,y,z)关于x,y,z均可超线性增长的情形下边值问题(1)解的存在性. 目前已有的结果讨论超线性问题时均要求f关于z的增长满足Nagumo条件, 本文不需要Nagumo条件, 在f满足不等式条件下, 用一个新的截断函数技巧, 建立边值问题(1)的上下解定理, 进而用该上下解定理获得边值问题(1)解的存在性结果, 目前已有的结果讨论正解的存在性时均要求f非负, 若f变号, 则文献[12]的方法不再适用. 本文在不要求f非负的一般情形下, 用上下解方法给出边值问题(1)正解的存在性结果.

1 预备知识

记I=[0,1],+=[0,+∞),-=(-∞,0].C(I)表示定义在I上的全体连续函数按范数构成的Banach空间; 对n∈,Cn(I)表示定义在I上的全体n阶连续可微函数按范数构成的Banach空间;C+(I)表示C(I)中的全体非负函数集.

定义1若v∈C3(I), 满足

(4)

则称v为边值问题(1)的下解. 若式(4)均取反向, 则称v为边值问题(1)的上解.

(5)

由式(5)及u(0)=w0(0)-v0(0)≥0, 有

故结论成立. 证毕.

设h∈C(I). 为讨论边值问题(1), 先考虑相应的线性边值问题(LBVP):

(6)

引理2对∀h∈C(I), 线性边值问题(6)有唯一解u∶=Sh∈C3(I), 且解算子S:C(I)→C2(I)为线性全连续算子,u=Sh满足

(7)

证明: 对∀h∈C(I), 易验证

(8)

引理3设f:I×3→连续. 若存在常数a,b,c≥0, 满足及C0>0, 使得

|f(t,x,y,z)|≤a|x|+b|y|+c|z|+C0, (t,x,y,z)∈I×3,

(9)

则边值问题(1)至少有一个解.

(10)

为加强引理3中条件(9), 本文给出如下唯一性结果:

引理4设f:I×3→连续. 若存在常数a,b,c≥0, 满足使得

则边值问题(1)有唯一解.

证明: 对∀(t,x,y,z)∈I×3, 在条件(11)中, 取则条件(9)成立. 因此由引理3知, 边值问题(1)有解.

设u1,u2∈C3(I)为边值问题(1)的两个解. 令u=u2-u1, 则

因此由式(7),(11), 有

(12)

有唯一解u∈C3(I), 且满足u≥0,u′≥0,u″≤0.

证明: 易证边值问题(12)相应的非线性项

f(t,x,y,z)=ax+by-cz+h(t), (t,x,y,z)∈I×3

满足条件(11). 因此, 由引理4边值问题(12)有唯一解. 同理, 对∀h∈C+(I), 边值问题:

(13)

有唯一解u∈C3(I). 令h1(t)=a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+h(t), 则h1(t)∈C+(I). 由方程(13)的边界条件, 有:

即u≥0,u′≥0,u″≤0. 因此,

u‴(t)=a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+h(t)=au(t)+bu′(t)-cu″(t)+h(t),t∈I.

从而u为边值问题(12)的解, 故结论成立.

由文献[12]中引理2.3, 有:

引理6边值问题(6)对应的三阶线性特征值问题:

存在最小正实特征值λ1∈[6,8], 其相应的正特征函数φ1∈C3(I)∩C+(I), ‖φ1‖C=1, 且满足方程

2 主要结果

假设条件：

(H2) 对∀t∈I,z∈,f(t,x,y,z)关于x,y在上单调递增;

f(t,x,y,z)≤ax+by-cz+C0, ∀(t,x,y,z)∈I×+×+×-;

f(t,-x,-y,-z)≥-ax-by+cz+C0, ∀(t,x,y,z)∈I×+×+×-;

(H5) 对∀t∈I,z∈-,f(t,x,y,z)关于x,y在+上单调递增;

(H6) 存在δ>0, 使得∀(t,x,y,z)∈I×[0,δ]×[0,δ]×[-δ,0],f(t,x,y,z)≥λ1x.

定理1设f:I×3→连续, 边值问题(1)有下解v0和上解若f满足条件(H1), 则边值问题(1)至少有一个解u, 且满足

(14)

则η0,η1,η2:I×→连续, 且满足

(15)

做f的截断函数

则f*:I×3→连续. 取

则G为I×3中的有界闭集. 由式(15), 有

即f*(t,x,y,z):I×3→有界. 由引理3, 修改的边值问题:

(16)

有解u0∈C3(I). 下证u0满足

(17)

(18)

由定义式(14), 有

(19)

再由式(15),(16),(19)及条件(H1)和上解的定义, 有

(20)

由式(14),(17),(20), 有

因此按f*的定义, 有

从而u0是边值问题(1)的一个解.

定理2设f: [0,1]×3→连续, 若f满足条件(H2)～(H4), 则边值问题(1)至少有一个解.

证明: 由引理5知, 边值问题:

(21)

因此w0为边值问题(1)的上解. 再由条件(H4), 有

定理3设f: [0,1]×3→连续, 若f满足条件(H3),(H5),(H6), 则边值问题(1)有正解.

由条件(H6), 有

因此w0为边值问题(1)的上解. 下证v0≤w0. 考察u=w0-v0, 由v0和w0的定义, 有

例1考虑如下超线性三阶边值问题:

(23)

对应于边值问题(1), 相应的非线性项为

(24)

其关于x,y,z均超线性增长, 关于y三次增长,z四次增长, 不满足Nagumo条件, 目前已有文献的结果对边值问题(23)不适用. 用本文定理1证明该问题至少有一个解.

易见v0恒等于0为边值问题(23)的下解. 下证

(25)

为边值问题(23)的上解. 由式(25), 有

(26)