齿轮变位对行星轮系啮合刚度分析

闫云雪 朱锦超 宫 伟

（上海航空电器有限公司，上海200000）

行星齿轮传动具有结构紧凑，承载能力强、可获得较大传动比等优点[1]，广泛应用于航空航天空间限制的传动机构中，而且目前小模数齿轮加工制造水平也大大提高。行星齿轮传动可做增速、减速甚至变速等传动，行星轮能够实现功率分流，多个行星轮分担需要传递的载荷，齿轮轮齿滑动及滚动速度小，行星轮传动输入输出同轴，巧妙的采用内啮合，以上优点和传统的定轴传动轮系比较，行星轮系脱颖而出。

行星轮系的振动问题是当今的研究课题，剧烈的振动冲击直径影响整个机械系统的可靠性，齿轮副的啮合刚度对振动特性有着重要的影响[2]，已有论文研究了齿轮修形对行星轮啮合刚度的影响[3-4]，但关于齿轮变位系数对行星轮系齿轮啮合刚度的影响的相关研究寥寥无几，针对微型行星齿轮传动机构，由于齿轮尺寸很小很小，很难实现合理的齿轮修形，此时，齿轮变位系数的合理设计对啮合刚度，即对整个行星轮系的可靠性，至关重要。

1 行星轮系有限元模型建立

行星传动应满足传动比条件、同心条件、装配条件以及邻接条件，为了使行星传动系统实现均载，行星轮个数取3 个[5]，最终确定的行星轮系的主要参数见表1。

表1 行星轮系参数表

行星轮系结构见图1，建立的行星轮系有限元模型见图2，其中，太阳轮、行星轮、内齿圈和行星架销轴均采用Plane182 单元，行星架转架部分采用Beam188 单元模拟。行星轮和内齿圈、行星轮和太阳轮、行星轮和行星架销轴间的接触对采用Conta172 单元和Targe169 单元。为了模拟真实的工况条件，内齿圈外表面做全约束，太阳轮内表面施加切向载荷来模拟负载转矩，行星架转架中心限制除轴向转动的其他方向自由度，这样负载就可以通过太阳轮传递到行星轮和内齿圈。

2 变位对啮合刚度的影响

2.1 太阳轮- 行星轮啮合刚度计算

图1 行星轮系结构

图2 行星轮系有限元模型

太阳轮和行星轮为外啮合，采用正传动时，齿廓曲率半径增大，因此可以有效提高齿面接触强度，适当分配传动比，使太阳轮和行星轮的最大滑动率相等，即可降低齿面接触应力，又可以降低齿面间的滑动率，提高齿轮的抗胶合和耐磨损能力[6]。齿轮系统振动与噪声现已成为齿轮啮合主要研究课题，由于齿轮副的啮合刚度因制造、安装及结构的影响，啮合刚度是不固定的，在一个周期T 内呈现时变性，我们称之为时变啮合刚度，齿轮变位，除了上述提到的种种优点以外，齿轮变位情况对时变啮合刚度具有重要意义，合理的选择变位系数，能够使齿轮传动更加平稳。

本节讨论外啮合变位系数对啮合刚度的影响，因此只改变太阳轮变位系数，行星轮变位系数为0，齿轮其他参数已在上节表1 中给出。太阳轮- 行星轮啮合有限元模型见图3 所示。

图3 太阳轮- 行星轮啮合

太阳轮和行星轮的圆心O1、O2耦合形成刚性区，太阳轮绕圆心O1自转，给太阳轮施加力矩T。行星轮绕圆心O2自转，还绕O1公转，在啮合位置，行星轮圆心O2自由度被限制，太阳轮-行星轮载荷传递过程中，啮合齿对在载荷作用下会发生微小的弹性变形，提取太阳轮圆心O1的转角△θ，因△θ 特别小，则太阳轮- 行星轮啮合刚度K 可由公式1 求得

式中r 为太阳轮基圆半径。

提取一个啮合周期T 内太阳轮- 行星轮啮合刚度随时间的变化曲线，啮合周期他为

式中：Zp 为行星轮齿数，ncp为行星轮相对转速。

一个啮合周期对应的行星架转角为δ 为

式中：Zp为行星轮齿数，ncp为行星轮相对转速，nH为行星架输出转速依据表1 数据研究齿轮变位对太阳轮- 行星轮啮合刚度影响，通过建立的有限元模型，提取太阳轮圆心O1的转角△θ并计算出的一个周期内的啮合刚度K 的曲线如图4 所示。

图4 太阳轮- 行星轮啮合刚度曲线

由上图可明显的看出，在一定范围内，太阳轮- 行星轮为正传动时，双啮合区减小，单啮合区增大，啮合刚度减小。主动轮负变位，太阳轮- 行星轮负变位时，双齿啮合区间增大，啮合刚度增大。

2.2 行星轮- 内齿圈啮合刚度计算

内啮合变位齿轮也分为正传动和负传动，正传动中，内齿轮变位系数大于外齿轮的变位系数，反之为负传动中，行星轮取变位系数为0，取内齿轮的不同变位系数，其他齿轮参数不变，建立行星轮和内齿圈有限元模型，如图5 所示。

图5 行星轮- 内齿圈啮合

内齿圈固定，行星轮绕圆心O2自转的同时绕内齿圈圆心O1公转，行星轮- 内齿圈的啮合刚度同样可以通过公式（1）得到，式中T 为行星轮转矩，rb为行星轮基圆，△θ 为行星轮转角，通过建立的有限元模型，提取行星轮圆心O2的转角△θ，并计算出的一个周期内的啮合刚度K 的曲线如图6 所示，可以看出，在一定范围内，行星轮- 内齿圈为正传动时，双啮合区减小，单啮合区增大，平均啮合刚度减小。

图6 行星轮- 内齿圈啮合刚度曲线

3 结论

通过建立行星齿轮系统的有限元模型，对不同齿轮变位系数对应的齿轮啮合刚度进行仿真计算，得出时变啮合刚度曲线，通过曲线可以得到以下结论：

3.1 外啮合齿轮副太阳轮- 行星轮正传动时，相比于0 变位，齿轮双齿啮合区减小，单齿啮合区增大，即重合度减小，最大及平均啮合刚度都减小；负传动时，齿轮双齿啮合区增大，单齿啮合区减小，平均刚度增大。

3.2 内啮合齿轮副行星轮- 内齿圈正传动时，相比于0 变位，齿轮双齿啮合区减小，单齿啮合区增大，即重合度减小，最大齿轮啮合刚度基本不变，平均啮合刚度减小；负传动时，齿轮双齿啮合区增大，单齿啮合区减小，最大齿轮啮合刚度基本没有变化，平均啮合刚度增大。

因此可知，行星轮系采用合理的齿轮变位，可以得到理想的啮合刚度，提高行星轮系可靠性，对行星轮系传动设计具有重要的意义。