错因剖析见本质 掌握策略促提高

刘燕

中学数学教材中，二次函数占有重要的地位，不管是在代数里还是在几何中，用到二次函数的次数特别多。现将平时作业与练习中经常出现的易错题进行剖析，并给出一些解决策略，希望能帮助同学们建立学好二次函数的信心。

一、对二次函数概念掌握模糊

例1 若y=（2-m）xm2-2是二次函数，则m的值为__________。

【错解】根据二次函数的概念得m2-2=2，解得m=±2。

故答案为m=2或m=-2。

【错因剖析】根据二次函数的概念，题中m应满足两个条件：m2-2=2，二次项系数2-m≠0。错解中疏忽了二次函数概念中“二次项系数a不等于零”这个条件。

【正解】根据题意，得m2-2=2且2-m≠0，解得m=-2。

故答案為m=-2。

二、未掌握二次函数最值的计算方法

例2 求函数y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值和最小值。

【错解】当x=-1时，y=2;当x=2时，y=5。

所以函数y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值为5，最小值为2。

【错因剖析】二次函数的最值有多种类型。假设自变量的取值范围是某个闭区间，那么其最值可能在端点处，也有可能在顶点处。因此，我们要得出此函数的最值，应通过二次函数的增减性来分析，也可以借助数形结合的思想方法来完成。

【正解】∵y=x2+1，∴对称轴是直线x=0，顶点坐标为（0，1），画出大致图像如图1，图中抛物线位于-1≤x≤2的一段，显然图像中最低点不是点A，而是顶点，最高点是点B。

所以当x=0时，y有最小值为1;

当x=2时，y有最大值为5。

三、对图像平移顺序了解不清

例3 把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2-2x-2，求a、b、c的值。

【错解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵图像向右平移2个单位，向下平移5个单位，∴原抛物线的解析式为y=（x-1-2）2-3-5=x2-6x+1，∴a=1，b=-6，c=1。

【错因剖析】二次函数图像平移问题往往包括多种类型，在解决已知原图像的表达式以及平移路径，求平移后图像表达式时，可以直接用“左加右减，上加下减”来解决。但此题已知的是平移后图像表达式以及平移路径，求原图像的表达式，因此，我们要看清题目实质，千万不可直接套用口诀解题。

【正解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵原图像向右平移2个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，

∴新图像向左平移2个单位，向上平移5个单位得到原抛物线，

∴原抛物线的表达式为y=（x-1+2）2-3+5=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3。

四、没有进行分类讨论

例4 若m为实数，则函数y=（m-2）x2+mx+1的图像与x轴的交点个数为 。

【错解】根据题意，得b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8=（m-2）2+4>0，

所以函数y=（m-2）x2+mx+1的图像与x轴的交点个数为2个。

【错因剖析】此题题干部分说的是“函数”，而不是“二次函数”，所以此题还有另一种情形，即一次函数的情形，需要分类讨论。

【正解】当函数为一次函数，即m-2=0，m=2时，函数y=2x+1与x轴相交于点（[-12]，0），交点个数为1个。

当函数为二次函数，即m-2≠0，m≠2时，

∵b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8

=（m-2）2+4>0，

∴函数y=（m-2）x2+mx+1的图像与x轴的交点个数为2个。

综上所述，函数图像与x轴的交点个数为1或2个。

五、忽视题目中的隐藏条件

例5 已知x-y2=1，求y2-x2的最大值。

【错解】∵x-y2=1，∴y2=x-1

∴y2-x2=-x2+x-1=-（x[-12]）2[-34]，

所以y2-x2的最大值为[-34]。

【错因剖析】此题将y2用关于x的代数式表示，代入y2-x2得到关于x的二次函数，就将本题转化成求二次函数的最值问题。但忽略了y2≥0，x有取值范围这一隐藏条件。

【正解】∵x-y2=1，∴y2=x-1。

∵y2≥0，∴x-1≥0，解得x≥1。

∵y2-x2=-x2+x-1=-（x[-12]）2[-34]，

∴此抛物线开口向下，对称轴为x=[12]，

∴当x≥1时，y随x的增大而减小，

∴当x=1时，y2-x2有最大值为-1。

从上述几个问题可以看出，各种数学思想如函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等都可以利用二次函数作为载体。因此，同学们在解答二次函数的问题时，除了理解概念、公式外，还要认真审题，灵活运用，挖掘题目中的隐藏条件。

（作者单位：江苏省东台市实验中学）