从图像获取信息 用性质推理判断

陈梅珍

我们知道二次函数的图像是抛物线，在考查二次函数知识时，常常会出现一类由二次函数图像即抛物线提供信息，利用二次函数性质作推理判断的题目。解决这类问题，我们必须熟悉二次函数表达式中的字母系数与抛物线之间的关系，学会看二次函数y=ax2+bx+c的图像，具备从函数图像中获取信息的能力。

看抛物线的开口方向和大小：抛物线开口向上，a>0;抛物线开口向下，a<0;抛物线开口越小，[a]越大;抛物线开口越大，[a]越小。

看抛物线对称轴所在位置：系数a与系数b一起决定抛物线对称轴x=[-b2a]的位置。对称轴是y轴，则b=0;对称轴在y轴的左侧，则a、b同号;对称轴在y轴的右侧，则a、b异号。

看抛物线与y轴的位置：由x=0时y=c，可知抛物线与y轴交于（0，c）。当抛物线与y轴的交点在x轴上方时，c>0;当抛物线与y轴的交点在x轴下方时，c<0;当抛物线经过原点时，c=0。

看抛物线与x轴有无公共点：抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0;抛物线与x轴有一个公共点，则b2-4ac=0;抛物线与x轴没有公共点，则b2-4ac<0。

还可以看看抛物线的对称性、抛物线的增减性、某些特殊点的位置等，以此进一步推理判断。

例1 如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于（-3，0），顶点是（-1，m）。结合图像分析下列结论：①abc>0;②4a+2b+c>0;③若y≥c，则x≤-2或x≥0;④b+c=[12]m。正确的是 （填序号） 。

【解析】看抛物线，开口向上，所以a>0。

看抛物线的趋势，抛物线与y轴相交于负半轴，所以c<0。

看抛物线的对称轴，在y轴左边，所以[-b2a]<0，又因为a>0，所以b>0。

由此分析出abc<0，故①错误。

因为二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于（-3，0），顶点是（-1，m），

根据抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）。

因为抛物线开口向上，所以横坐标为2的点在x轴上方，所以当x=2时，y=4a+2b+c>0，故②正确。

由抛物线的顶点是（-1，m），得抛物线的对称轴是直线x=-1，所以[-b2a]=-1，即b=2a。再把y=c，b=2a代入y=ax2+bx+c，得ax2+2ax+c=c，所以x2+2x=0，解得x=0或-2。結合图像，当y≥c，则x≤-2或x≥0，故③正确。

把（-1，m），（1，0）代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=m，a+b+c=0。又因为b=2a，所以b=[-12]m，a=[-14]m，c=[34]m，所以b+c=[14]m，故④错误。

综合上述，正确的是②③。

例2 如图2，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）。结合图像分析下列结论：①8a+c<0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等实数根;③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<12，则y1>y2;④m（am+b）≤a+b（m为实数）。正确的是 （填序号） 。

【解析】由抛物线的顶点坐标为（1，n），得抛物线的对称轴为直线x=1，所以[-b2a]=1，即b=-2a。

因为点A（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），所以9a+3b+c=0。

将b=-2a代入9a+3b+c=0，得3a+c=0，所以8a+c=5a<0，故①正确。

因为顶点坐标为（1，n），所以抛物线ax2+bx+c=n有唯一解。

当y=n-1时，与抛物线有两个交点，故②正确。

因为x1<12，所以[x2-1]>[x1-1]。

抛物线关于x=1对称，x<1时，y随x的增大而增大，x>1时，y随x的增大而减小，

所以y1>y2，故③正确。

因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），所以x=1时，函数值y取最大值。

因为x=1时，函数值y=a+b+c;x=m时，函数值y=am2+bm+c，

所以am2+bm+c≤a+b+c，所以am2+bm≤a+b，即m（am+b）≤a+b（m为实数）成立，故④正确。

综合上述，正确的是①②③④。

利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像解决问题，我们需要仔细观察题目所给出的图像，认真解读图像所反映出来的重要信息，然后根据解读出来的图像信息，结合图像与性质，逐条分析并推理判断各个结论的正确性。

（作者单位：江苏省苏州市吴中区甪直甫里中学）