系统零极点分布对系统性能的影响

王玉德， 毛鑫华

(曲阜师范大学物理工程学院,273165,山东省曲阜市)

连续时间系统稳定性的分析一般是通过分析系统极点的位置来确定[1-4]，系统的灵敏度、相对稳定性可通过分析极点与s平面的虚轴间的距离获得.表征系统性能的一系列指标，都直接或间接地与系统零、极点的位置有关[2，3].

下面从零、极点分布对系统时域响应的影响，对系统根轨迹曲线的变化趋势的影响两个方面来讨论零极点的分布对系统性能的影响.

1 零点位置改变对系统根轨迹曲线的影响

图1 系统零点z=0时的根轨迹曲线

图2 系统零点分别为z=-1 000,-2,-1,-0.5时系统根轨迹曲线

图3 系统零点分别为z=0.5，1，2，1 000时系统根轨迹曲线

2 增加极点对系统根轨迹曲线的影响

在上述二阶系统的基础上分别增加数值不等的双极点p=-3，-4，-10，-12，-10 000，-11 000，根轨迹曲线如图5. 图5所示根轨迹曲线与图4相比较可以看出，系统极点数目增加后系统根轨迹渐近线的分支数、渐近线的方向角发生了变化，根轨迹继续向右倾斜，使得系统稳定时根轨迹增益的调整范围变得更小，使得系统更容易失去稳定，故增加系统极点越多，越不利于改善系统的性能.

图4 增加数值不等的单个极点的系统根轨迹曲线

图5 增加双极点前后系统根轨迹曲线

3 增加零点对系统阶跃响应的影响

从图6看出，增加零点后系统响应的灵敏性得到改善，上升时间比原系统的上升时间减少，同时系统的阶跃响应的振荡也更加剧烈，超调量增加，相对稳定性能变差.同时，分析系统函数零点与s平面虚轴的距离对系统阶跃响应的影响，可以看出系统函数的零点越靠近s平面的虚轴，系统响应变化就越剧烈，系统稳态误差也越大.反之，增加的零点距离虚轴越远，则对系统响应的影响越小.

图6 系统阶跃响应曲线

在上面增加系统负实数零点实验的基础上，在原系统中增加正实数零点(z=5)，增加零点后系统的阶跃响应变化如图7.

图7 增加负实数零点时系统阶跃响应曲线

从图7中看出，系统阶跃响应在给定输入的初始阶段出现了回归的变化，然后再以较快的速度达到稳态值，但总体上对比零点增加前、后的系统阶跃响应曲线看出，增加零点后系统的振荡更强烈，超调量变大，响应的上升时间大于原系统的上升时间，系统灵敏度和相对稳定性能变差.

4 小 结

为研究系统的零极点分布对系统性能的影响，在已有系统函数上增加零、极点，画出零、极点变化前后系统的根轨迹曲线，可以直观地看到系统零、极点改变对系统根轨迹曲线的影响，为应用根轨迹法分析系统性能提供了理论支撑.在分析零、极点分布对根轨迹曲线影响的基础上，应用时域分析法对增加零点前后系统阶跃响应进行分析，可以看出零点在向极点移动的过程中，系统的阶跃响应的动态分量的幅度在变小，系统的相对稳定性变好.