几类间断点与原函数存在性的关系辨析

于晓要 李 娜

（商丘工学院，河南 商丘 476000）

1 引言与预备

高等数学和数学分析中对函数的可积性与原函数的存在性给出了一些简单阐述，主要结论如下定理[1-2].

定理1 若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数.

定理2 若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积.

定理3 若函数f(x)在区间[a，b]上有界，且只存在有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积.

文献[3]-[5]也对函数的可积性与原函数的存在性进行了进一步研究和探讨.本文仅对间断点的类型给出几个结论，比较具体地讨论间断点与函数的可积性、原函数存在性的关系.

2 主要结论

结论1 若函数f(x)在区间[a，b]上存在有限个第一类间断点，则f(x)在[a，b]上可积，但原函数不存在.

证明 由定理3可得f(x)在[a，b]上可积.下证f(x)在[a，b]上的原函数不存在.

设x0∈(a，b)是f(x)的第一类间断点，则f(x0-)、f(x0+)都存在.用反证明法，假设f(x)在[a，b]上存在原函数F(x)，即F'(x0)=f(x0)，由洛必达法则可得

结论2 若函数f(x)在区间[a，b]上存在有限个无穷间断点，则f(x)在[a，b]上不可积，且不存在原函数.

因为f(x)在[a，b]上无界，所以不可积.类似结论1 的证明可得原函数不存在.

上面已经讨论了第一类间断点和第二类间断点中的无穷间断点.在下面的讨论中，把第二类间断点中的震荡间断点分为有界震荡、无界震荡两种类型.

结论3 若函数f(x)在区间[a，b]上存在有限个有界震荡间断点，则f(x)在[a，b]上可积，原函数可能存在也可能不存在.

由定理3容易得，f(x)在[a，b]上可积.下面的两个例子说明了原函数可能存在也可能不存在.

图1

图2

事实上，在x≠0时，f(x)的原函数为

而无论a是哪个常数，F(x)在x=0处均不可导.

结论4 若函数f(x)在区间[a，b]上存在有限个无界震荡间断点，则f(x)在[a，b]上不可积，原函数可能存在也可能不存在.

在x=0处不可导.

图4

图3

3 结语

根据上面的讨论可得，一个函数在含有间断点的区间上存在原函数，那么该间断点必定是震荡间断点，且原函数是否存在与间断点处有界震荡还是无界震荡无关.可积性与原函数存在性之间没有必然的蕴含关系，是相互独立的概念.存在既不可积也不存在原函数的函数（如例4），只有可积且存在原函数的情形才成立牛莱公式.