一类高次Λ-Ω 微分系统的弱中心

蒋新雅, 周正新

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

对于平面微分系统

(1)

(2)

以(0,0)为中心的充要条件, 其中Φ2,Φ6分别为关于x,y的二次和六次齐次多项式,μi,ai∈R(i=1,2)．

1 主要结果

在极坐标系下微分系统(1)可化为:

(3)

由文献[3,18]知, 若存在连续可微的2π周期函数u(θ)和连续可微函数fk(u),gk(u)使得Ak(θ)=u′(θ)fk(u(θ)),Bk(θ)=gk(u(θ)), 则称2π-周期方程(3)满足复合条件．

引理1[3]若微分方程(3)满足复合条件, 则微分系统(1)以原点为中心,且这个中心称为复合中心．

(4)

情形1若μ2≠0, 作变换X=x/μ2,Y=y/μ2,上式化为

(5)

其中μ=μ1/μ2,P2=∑i+j=2pijxiyj,P6=∑i+j=6pijxiyj,pij∈R．

定理1若μ=1,且

(6)

则微分系统(5)以(0,0)为中心的充要条件为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

情形2若μ2=0,μ1≠0, 微分系统(4)化为

(13)

(14)

综上微分系统(4)的Poincaré-中心焦点问题已全部解决．