孔内多点源直流电阻率三维正演研究

赵广茂，张福彬

(1.中国铁路设计集团有限公司，天津 300308；2.城市轨道交通数字化建设与测评技术国家工程实验室，天津 300308)

直流电阻率法是地球物理中的一种勘察方法，一般采用地面直流电极供电和观测，可查明地下地层变化情况，尤其是在地下水、隐伏结构勘察方面，刘心路等[1]、余斐等[2]利用直流电阻率法在近地表断层、破碎带勘察中取得了较好的效果，近些年来有学者对直流电阻率法进行了拓展，把发射电极放置在钻孔内部、地面观测，称为井地电阻率法[3]，赵广茂等[4]利用单点源井地电阻率方法进行了煤田陷落柱的探测研究，验证了点电源与异常体距离越近地表反映越明显，并且点电源位于异常体上方时反映更强烈，凌明友利用长导线源进行了剩余油评价的应用研究[5]，取得了很好的效果。

当发射电极位于孔内时，发射源靠近了地下异常体，可大幅提高直流电阻率法对异常体的探测效果，但采用单点源难以探测多个埋深的异常体，直线源布设较为困难。

故可考虑在孔内布设多个点电源、地面观测的三维勘察方法，使发射源靠近目标层位，尤其是结合钻探信息，可以将发射源布设在目标层位，既能提高异常体识别能力，又方便发射电源布设。

为了准确了解地下岩层，在工程勘察中会布置大量勘察钻孔[6-10]，受成本限制，钻孔往往只能沿线位布设，因此钻孔周围区域形成了勘察空白区[11-14]，将井地电阻率法与工程勘察需求相结合，提出在工程勘察钻孔内布置多点源、地面三维观测的方式，进行钻孔附近岩土结构探测，以补充钻探周围的勘察空白。

为验证孔内多点源地面三维观测方法的有效性，结合工程地质问题及浅地表常见地层情况，建立了多种地电模型，从异常电位满足的微分方程出发，推导多点源的数值计算公式，利用有限差分实现三维地电场的正演，并开展模型试算，从而掌握不同岩层结构地面电场规律，同时为后续三维直流电阻率反演及工程应用奠定基础。

1 基本原理

孔内多点源直流电阻率方法观测系统如图1所示，在工程勘察钻孔内布置多点源、地面布置电极进行三维观测。

图1 观测系统示意图

为了消除偏微分方程电源位置的奇异性，将电位Ψ分为两部分，即

Ψ(r)=Ψp(r)+Ψs(r)

(1)

式(1)中：Ψp(r)表示与电流源项有关的奇异成分，是点电源在均匀半空间中产生的电位，即背景电位；Ψs(r)表示与电流源项无关的成分，即异常电位，由地下不均匀体产生。

异常电位微分方程为

(2)

1.1 背景电位计算

根据电位场理论，地表下的点电源在空间某点的电位表达式为[15]

(3)

式(3)中：Up为电位；I为电流值；r为点电源到空间点的直线距离；σ为电导率(S/m)。

当钻孔内布置多个点电源时，可以通过不同点产生的电位依次叠加来实现总电位UPN的求解，即

(4)

1.2 异常电位计算

异常电位无解析表达式，只能通过数值计算方法来求解，通过有限差分法来离散化，将计算域剖分为三维网格，如图2所示，大小为m×n×l，X方向节点编号i=1,2，…,m；Y方向节点编号j=1,2,…，n；Z方向节点编号k=1,2,…,l。V(i,j,k)代表节点(i,j,k)附近的体积元，将式(2)在V(i,j,k)内积分：

图2 三维网格剖分示意图

σavg)Ψp]dv

(5)

1.3 总电位计算

利用式(5)对地下网格节点进行离散化，建立未知数Ψs的方程组。

CΨs=S

(6)

式(6)中：C为系数矩阵；Ψs为电位矩阵；S为源矩阵。

最后求解式(6)即得到Ψs，进而根据式(1)即可求得总电位Ψ。

1.4 视电阻率计算

孔内供电、地面接收三维直流电阻率法观测装置布置如图3所示，其视电阻率可通过传统直流电法视电阻率公式进行计算。

A1、A2、B为供电电极；N为测量电极

(7)

2 模型计算

为研究地下三维异常体在地表视电阻率变化的情况，设计了均匀大地、双低阻体、一高一低阻体、多层地层、含水层等模型进行计算。同时为了使模型更接近真实情况，查阅了各类土壤的试验电阻率值，如表1所示。

表1 各类土壤电阻率参考值

2.1 均匀大地模型

为验证算法及程序的正确性，首先通过均匀大地模型进行验证，设计模型断面如图4所示。图4中X为地表，Z为地下空间，模型空间剖分网格大小为31×31×16，单元大小为10 m，均匀大地电阻率取值为100 Ω·m，供电电流为5 A，供电电极A1、A2坐标分别为(0, 0,-80)、(0, 0,-160)，供电电极B坐标为(1 000, 0, 0)，测量电极N位于(-1 000, 0, 0)，地表三维观测，点距10 m，地表观测结果如图5所示，图5中X、Y为地表两个方向，可以看到地表观测视电阻率与均匀大地模型设置的背景电阻率一致，所以本文算法及计算是正确的。

图4 均匀大地模型

图5 均匀大地模型地表观测结果

2.2 双低阻体地电模型

为研究地下不同介质情况在地表视电阻率变化情况，设计了双低阻体模型，如图6所示，模型背景电阻率为200 Ω·m，模拟黄土地层，在(-60,-60)、(60, 60)位置50 m深度设置了两个低阻异常体，大小为40 m×40 m×20 m，异常体电阻率50 Ω·m，供电及测量装置与图4模型相同，地表视电阻率观测结果如图7所示。从图7可以看出，低阻异常体在地表观测结果中表现为高低阻共存状态，高低阻分界为低阻异常体中心位置，因此在实际观测中高低阻共存位置往往下方存在低阻异常体。

图6 双低阻体模型

图7 双低阻体模型地表观测结果

2.3 高低阻体地电模型

为研究直流电阻率对高阻异常的识别能力，设计了一高一低阻双异常体模型，如图8所示，模型背景电阻率为200 Ω·m，模拟黄土地层，在(-60,-60)位置50 m深度设置了一个高阻异常体，在(60, 60)位置50 m深度设置了一个低阻异常体，异常体大小为40 m×40 m×20 m，低阻体电阻率50 Ω·m，高阻异常体电阻率500 Ω·m，供电及测量装置与图4模型相同，地表视电阻率观测结果如图9所示，可以看到：高阻异常体在地表同样表现为高低阻共存状态，但高电阻值反映并不明显，这与电磁法对高阻体不敏感相一致；低阻异常体表现同样为高低阻共存状态，但受高阻异常体影响，低阻区域略有减弱。

图8 高低阻体地电模型

图9 高低阻体模型地表观测结果

2.4 多地层地电模型

多地层地电模型如图10所示，0～20 m地层模拟黄土地层，电阻率为200 Ω·m，20～70 m地层为砂层，电阻率为1 000 Ω·m，下伏基岩为多岩山地，电阻率为5 000 Ω·m，地表视电阻率观测结果如图11所示，由于地下不存在局部异常体，所以视电阻率在地表呈对称状，地下地层电阻率逐渐升高，所以，地表电阻率表现为中心电阻率低、周边电阻率高的状态，平均电阻率远高于浅层黄土的电阻率。

图10 多地层地电模型

图11 多地层模型地表观测结果

2.5 含水层模型

在多层模型基础上设计了含水条带地电模型，含水条带为240 m(长)×20 m(宽)×20 m(厚度)，含水条中心位于(0,-50)，埋深40 m，如图12所示，电阻率赋值为3 Ω·m，地表视电阻率观测结果如图13所示，含水带引起的异常反应与其形态一致，且将地表对应位置视电阻率值降低，其余位置地表视电阻率反而升高。

图12 含水层地电模型

图13 含水层模型地表观测结果

3 结论

利用有限差分实现了孔地多点源的三维直流电阻率正演，通过模型计算，得出如下结论。

(1)低阻异常体在地表视电阻率观测结果中并不是表现为低阻单个异常，反而表现为高低阻共存的状态，高低阻分界为低阻异常体中心位置，实际观测中应该重点关注高低阻共存特征。

(2)高阻异常体在地表同样表现为高低阻共存状态，但高电阻值反映并不明显，不宜采用该方法探查如空气洞穴类的高阻异常。

(3)地下如有含水条带，地表视电阻率形态与其形态一致，且地表其他位置视电阻率会升高。

(4)孔内多点源三维直流电阻率法可以判定钻孔附近低阻异常体的赋存位置，可为钻孔周围勘察空白区提供补充，实际工程应用中还可以结合钻探资料进行建模及解译，进而提高成果精度。