I3322不等式的量子违背研究

郭梦琪, 巩龙延

(1 南京邮电大学理学院,江苏省新能源技术工程实验室, 江苏 南京 210003;2 南京邮电大学信号处理与传输研究院, 江苏 南京 210003)

0 引 言

量子关联包括量子非局域性、量子纠缠、量子失协、量子导引等,是量子力学的基本特性之一。它们是量子信息处理技术中的重要资源,广泛应用于量子密钥分发[1]、量子计算[2]、量子隐形传态[3]和真随机数生成[4]等许多方面。

1964 年,Bell 定理以不等式的形式表明任何定域实在论都与量子力学理论不相容[5]。Bell 认为所有定域性都有一个界限,即Bell 不等式,而量子力学所描述的世界可以突破这个界限,即量子非定域性。Bell 不等式给出了经典世界和量子世界的分界,描述了物质世界最基础的本质,因此Bell 不等式被称为“科学中意义最深远的发现”之一。1969 年,针对Bell 不等式不易被实验检验的缺点,Clauser、Horne、Shimony 和Holt[6]提出了著名的CHSH 不等式。1982 年,Fine[7]认为任何满足Clauser-Horne(CH)不等式的量子关联都遵循定域隐变量理论, 这一想法指出Bell 不等式具有新的理论意义[7,8]。不久, Garg和Mermin[9]认为在一定场景下量子关联满足所有的CH 不等式,但不支持定域隐变量理论。2001 年,Pitowsky 和Svozil[10]发现定域隐变量模型所能预言的事件全体构成一个凸多面体,多面体的面对应着紧致的Bell 不等式。利用概率论和多面体理论可得出两粒子全部的Bell 不等式[11-15],其中I3322不等式是除CHSH 不等式以外一个最简单的紧致Bell 不等式。I3322下标的含义指Alice 和Bob 各有3 组测量基,每组测量基各有2 个可能的测量结果,后面给出详细的解释。存在不能违背CHSH 不等式的量子态但能违背I3322不等式[13],因此该不等式引起了人们的格外重视。

在最大纠缠态时I3322不等式可被最大违背,这种极端情形引起了人们的极大兴趣并被广泛地讨论[11-15],但由于各种非理想因素的存在,实验室中很难制备出真正的最大纠缠态[16,17]。Ekert 理论证明,只要纠缠体系违背Bell 不等式,使用非最大纠缠态来进行量子密钥分发也是安全的[18]。同时噪声环境也会影响不等式的鲁棒性[19,20]。由于量子非定域性是量子信息处理技术的重要资源[21],而I3322不等式是近年来发展起来识别量子非定域性的有力工具,因此研究I3322不等式的违背对非定域性的判别具有十分重要的意义。

考虑以上所述,本文重点讨论非最大纠缠态下I3322不等式的违背程度如何,环境噪声下该不等式的鲁棒性如何。利用MATLAB 数值仿真方法,定量研究单一纠缠态、混合纠缠态以及噪声信道等对该不等式量子违背的影响。研究结果丰富了人们对I3322不等式量子违背的认识,对I3322不等式在量子信息处理技术的应用有一定理论意义。

1 Bell 型不等式

Alice 和Bob 共享一个两量子比特的纠缠态

式中IA、IB是Alice 和Bob 所持有粒子的希尔伯特空间的单位矩阵,ρ=|φ(α)〉〈φ(α)|表示初态的密度矩阵。在两粒子、多组测量基、每组测量有2 个测量结果的场景,任意一个Bell 型不等式可以表示为[14]

式中bx[x∈(Ai,Bj,AiBj|1 ≤i,j≤3)]表示对应项的实系数,b0表示定域隐变量理论模型下的最大值。当ma=mb=3 时,定义[13,14]

新型Bell 不等式为

为方便,称它为I3322不等式,前两个下标表示Alice 和Bob 各有3 组测量基,后两个下标表示Alice 和Bob 的每组测量基各有2 个可能的测量结果。该不等式能被最大纠缠态最大违背,且最大量子违背值为0.25[11-15],称取得最大量子违背时的测量基组合为最优测量基。

同时,研究者将Bell 不等式推广到更复杂的场景中,例如两粒子多组测量基[11-15],多粒子两组测量基[16,17],多粒子多组测量基情形[22-24],以及任意多粒子多组测量基场景[25]。针对不同场景,人们得出不同形式的不等式并进行详细讨论。

2 仿真结果

(1)式表示的量子态的冯·诺依曼熵为

由于实验环境以及实验设备等因素的影响,研究人员很难制备出理想的最大纠缠光子对。只要纠缠态破坏Bell 定理,非最大纠缠态也是一种重要的量子资源,所以非最大纠缠光子对的非定域性也很重要[18]。同时,通过多次测量的统计平均值验证Bell 型不等式,而实验中每次制备的纠缠光子对的纠缠性并不会完全相同。退一步,虽然制备出了最大纠缠光子对,但由于环境噪声的影响,导致最终真正被执行操作的态不是理想的最大纠缠态。接下来,将对以上三个方面进行详细讨论。

2.1 单一纠缠态的影响

图1(a)给出α=α0、0.1、0.3、0.5、0.9 时I3322随仿真实验轮数N的关系,图中的实线为对应α 的100 轮I3322的平均值。当α = α0,即最大纠缠时,每轮的I3322值在平均值附近有小的涨落。100 轮的平均值= 0.2528±0.0141,更多的轮数给出同样的结果,该平均值与最大量子违背理论值0.25 完全一致[11-15]。该结果表明该模拟方法可行、可靠,同时表明在实际实验中若每轮做105次的测量,100 轮的平均值即可用来验证该不等式。图1(a)还表明在α = 0.3、0.5、0.9 时,I3322＞0,即违背不等式(5)。在α=0.1 时,I3322＜0,即遵循不等式(5)。

图1(a)I3322 随轮数N 的变化关系;(b) 与α 的关系;(c) 与S 的关系Fig.1 (a)I3322 versus turns N;(b) versus α;(c)versus S

2.2 混合纠缠态的影响

考虑每次制备的纠缠光子对的纠缠性并不会完全相同,在每轮的仿真实验中,利用(4)式计算不同纠缠态下I3322的平均值,这种情形称为混合纠缠态下的。在仿真中,假设光子源制备的纠缠光子对以α 为参数,满足正态分布P(α),取为期望值,σ2为方差,且α 的取值限定在[0,1]范围内。图2(a)给出了σ=0、0.1、0.3、0.5 时的分布情况,其中σ=0 对应单一的最大纠缠态情形。图2(b)显示,相比于图1(a)的单一纠缠态情形,I3322随仿真实验轮数N有较大的涨落。图2(c)显示平均值随σ 的增大而减小;在σ ＜0.589,＞0,即违背不等式(5);在σ ＞0.589,＜0。此结果意味着在纠缠态参数α 较大范围内,不等式(5)也能够被违背。

2.3 噪声信道的影响

实际上,光子在信道过程中不可避免地要和外界环境相互作用,所以探究环境噪声下量子非定域性十分重要。一个量子态ρ 通过有噪量子信道后的状态ρnoise可表示为ρnoise= ε(ρ),其中ε 是量子运算。这种描述外部环境对系统影响的量子运算可用Kraus 算子表示,即

式中Kraus 算子{Ki}满足完备性条件:考虑Alice 制备纠缠光子对,把其中的一个光子通过量子信道发送给Bob 的情形,则两Kraus 算子表示的噪声信道可表示为[26]

其中振幅阻尼和相位阻尼联合作用于单量子比特的Kraus 算符表示成

式中p(0 ≤p≤1)表示量子信道中的噪声强度,η(0 ≤η ≤1)表示信道中某类有噪信道的比重。

图2 (a)正态分布P(α)与α 的关系;(b)I3322 随轮数N 的变化关系;(c) 与σ 的关系Fig.2 (a)Normal distribution P(α)versus α;(b)I3322 versus turns N;(c) versus σ

在仿真实验中,初态选为最大纠缠态。当最大纠缠初态经过两Kraus 算子噪声信道后,如图3(a)所示。随着噪声参数p和η 的变化,值在区间[-0.583,0.25]变化。图3(b)给出相应的相图,在A 相,＞0,即违背不等式(5);在B 相,＜0。根据文献[26],当p= 0 时,光子对的纠缠关联保持,此时＞0;当p= 1 时,光子对不再有纠缠关联,此时＜0。根据文献[26],η = 0 对应相位阻尼信道,p=0.73 为A 相和B 相的分界点;η=1 对应幅度阻尼信道,p=0.41 为A 相和B 相的分界点。

3 结 论

量子非定域性是量子信息处理技术的重要资源,而I3322不等式是近年来发展起来检验量子非定域性的有力工具。在最大纠缠态时I3322不等式可被最大违背,人们对这种极端情形进行了广泛地讨论。然而实际检验过程中可能存在各种非理想因素,很难得到解析表达式。因此利用MATLAB 进行了仿真研究。结果表明对单一纠缠态,纠缠度大到一定程度,不等式才能被违背;对混合纠缠态,在纠缠态较大参数范围内,不等式也能被违背;得到了在两Kraus 算子表示的信道影响下不等式违背与不违背在噪声参数空间的相图。这些结果丰富了人们对I3322不等式量子违背的认识,同时对基于I3322不等式的量子信息处理技术的应用有一定的理论意义。