随机聚苯链的基尔霍夫指标

曹月芬,李美莲

(1.集美大学理学院，福建 厦门 361021;2.龙岩学院数学与信息工程学院，福建 龙岩 364012)

0 引言

本文仅考虑有限简单图，若无特别说明，有关图论的符号和术语见文献[1]。

图中的电阻距离是由Klein等[2]于1993年首先提出的。设G是n阶连通图,其顶点集{v1,v2,…,vn}。把图G中的每一条边由一固定电阻(用单位电阻)代替,则可得到对应的电网络N。那么顶点vi和vj之间的电阻距离r(vi,vj)就等于电网中节点vi和vj之间的等效电阻,并且满足欧姆定律和基尔霍夫法则。基尔霍夫指标Kf(G)就定义为G中所有点对之间的电阻距离之和。

(1)

一种大环状芳香族碳氢化合物称为聚苯,它们吸引了化学家们的广泛关注[3-10]。聚苯的分子图(或者更精确地说,表示碳原子的图)称为聚苯系统。如果聚苯系统的每一个顶点都位于一个六边形中,并且将聚苯系统里每一个六边形收缩成一个顶点所得到的图形是一条路,称它是聚苯链。图1给出了n=1,2时的唯一的聚苯链及n=3,4时所有的聚苯链。

更一般地,一个具有n个六边形的聚苯链PPCn可以看作是由一个具有n-1个六边形的聚苯链通过一条割边连接一个新的六边形而得到(见图2)。

1 主要结果

定理1 对于n≥1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

证明如前所述，聚苯链PPCn可以由PPCn-1通过一条割边连接一个新的六边形得到(见图2)。设末端的六边形其顶点集为{x1,x2,…,x6},新的边为un-1x1(见图2),则：

2)PPCn-1有6(n-1)个顶点。

3)对∀v∈PPCn-1,r(x1,v)=r(un-1,v)+1,r(x2,v)=r(un-1,v)+1+5/6,r(x3,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x4,v)=r(un-1,v)+1+3/2,r(x5,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x6,v)=r(un-1,v)+1+5/6。所以有

r(x1|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)+35/6，(2)

r(x2|PPCn)=r(x6|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+5/6)+35/6，(3)

r(x3|PPCn)=r(x5|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+4/3)+35/6，(4)

r(x4|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+3/2)+35/6。

(5)

Kf(PPCn+1)=Kf(PPCn)+6r(un|PPCn)+71n+35/2。

(6)

对于一个随机聚苯链PPC(n,p1,p2),r(un|PPC(n,p1,p2))是一个随机变量,把它的期望值记为Un=E(r(un|PPC(n,p1,p2))。

由于上面3种情形分别是以概率p1、p2和1-p1-p2随机发生的,由数学期望的定义可得：

Un=p1[r(un-1|PPCn-1)+14n-14+35/6]+p2[r(un-1|PPCn-1)+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[r(un-1|PPCn-1)+15n-15+35/6]。

(7)

对于式(7),应用数学期望的定义及线性性质,且由E(Un)=Un，可以获得:

Un=p1[Un-1+14n-14+35/6]+p2[Un-1+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[Un-1+15n-15+35/6]。

(8)

式(8)可以化简为Un=Un-1+(15-p1-4p2)n+p1+4p2-55/6。初始条件是U1=E(r(u1|PPC(1,p1,p2))=35/6。

应用上面的递推关系和初始条件,有

Un=(15-p1-4p2)n2/2+(p1+4p2-10/3)n/2。

(9)

对于一个随机聚苯链的基尔霍夫指标的期望值的递推关系可以由式(6)给出,应用数学期望的线性性质以及式(9),可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=E(Kf(PPC(n-1，p1,p2)))+6Un-1+71(n-1)+35/2=E(Kf(PPC(n-1,p1,p2)))+6[(15-p1-4p2)(n-1)2/2+(p1+4p2-10/3)(n-1)/2]+71(n-1)+35/2。这边的初始条件为E(Kf(PPC(1,p1,p2)))=35/2。

应用上面的递推关系和初始条件,可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

推论1 对于一个随机聚苯链PPC(n,p1,p2)(n≥3),有E(Kf(Mn))≤E(Kf(PPC(n,p1,p2)))≤E(Kf(Ln))。

证明由定理1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)p2+15n3+8n2-11/2n。

注意到n≥3，∂E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/∂p1=-n3+3n2-2n=-n(n2-3n+2)=-n(n-2)(n-1)<0,∂E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/∂p2=-4n3+12n2-8n=-4n(n2-3n+2)<0。所以，当p1=p2=0(即p3=1)时，para-链Ln的基尔霍夫指标具有最大的数学期望值。当p1+p2=1时，E(Kf(PPC(n,p1,p2)))包含有最小值。令p2=1-p1(0≤p1≤1),则:E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)(1-p1)+(15n3+8n2-11/2n),所以，∂E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/∂p1=3n3-9n2+6n=3n(n2-3n+2)>0。从而当p1=0即p2=1时，meta-链Mn的基尔霍夫指标获得了最小的期望值，从而推论1得证。