一个一元高次不等式的推广及应用

2021-03-11 07:41四川师范大学数学科学学院610068纪定春夏逸天周思波
中学数学研究(江西) 2021年3期
关键词:正数理科证明

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春 夏逸天 周思波

伯努利不等式,在高考数学和竞赛数学中具有广泛的应用,但直接运用伯努利不等式显得有些不太方便,需要将伯努利不等式(1+x)n≥1+nx(其中x>-1,n∈N*,当且仅当x=0时,取等.)变成xn≥nx-(n-1)(其中x>0,n∈N*,当且仅当x=1时取等.)的形式.为了使不等式“xn≥nx-(n-1)”的应用范围更广,考虑通过引入参数的方式将其推广.接下来,将给出该不等式的推广和应用.

1.不等式的推广

2.不等式的推广应用

例1 (2019年高考数学理Ⅰ卷23题)设a,b,c为正数,且满abc=1.证明:(Ⅰ)略;(Ⅱ)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

例2 (2017年高考理科Ⅱ卷23题)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(Ⅰ)略;(Ⅱ)a+b≤2.

例5 已知正实数x,y,z满足x2+2y2+3z2+4w2=100,求xy+xz+xw+yz+yw+zw+x+32y+83z+154w的最大值.

3.结语

通过上述对伯努利不等式的推广和应用,可以发现,引入参数能够起到简化运算的效果,可以将高次的幂不等式问题转化成次数较低的幂不等式问题来解决,这极大的降低了高次不等式的证明难度.其中,对参数形式的伯努利不等式tn≥n·λn-1t-(n-1)λn,可以根据其取等号的条件“λ=t”,确定参数λ的值,进而达到恰当放缩不等式的目的.

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