高斯函数[x] 性质及其应用

文贵双

(甘肃省天水市一中 741000)

高考试题根植于教材，但又不断创新，将教材内容与高等数学巧妙结合，成为高考、竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点，高斯函数出现在教材的习题中，各类考试中都有高斯函数的“倩影”，此类问题新颖灵活，能更好考查学生的思维品质和数学素养.

高斯函数也叫取整函数.取整函数[x]表示不大于x的最大整数，且由于对于任意的实数x，对应的函数值[x]都是整数，故称函数y=[x] 为取整函数.

[x]满足下面几条简单性质

(1)[x] 是整数.

(2)[x]≤x<[x]+1.

(3)取整函数是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R, 若x1

(4) 若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1

(5) 若n是正整数，x∈R,则[nx]≥n[x]

(6) 若m是整数，则[x+m]=[x]+m，y=[x]的图象如图1所示.其图象是一组阶高为1的平行与x轴的线段，不包括右端点，这组平行线段成阶梯状，故取整函数亦称阶梯函数.

而函数f(x)=x-[x]称为x的非负纯小数部分，并用“{x}”表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=[x]+{x}，其中{x}∈[0,1)称为小数部分函数.f(x)=x-[x]图象如图2所示，是一个周期函数.

高斯函数[x]是一个非常有趣的数论函数，在许多数学分支中都有广泛的应用，在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题. 由于高斯函数[x]性质不如初等函数(利如二次函数，指数函数、对数函数、三角函数)多，使用起来不方便.所以涉及取整函数[x]的题目，有其特殊的技巧,下面举例说明其解法.

一、有关高斯函数求值题

例1Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1,S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[lg99]=1.

(1)求b1,b11,b101；

(2)求数列{bn}的前1000项和．

故b1=[lga1]=[lg1]=0，b11=[lga11]=[lg11]=1，b101=[lga101]=[lg101]=2．

(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1000=b1+b2+…+b1000=[lga1]+[lga2]+…+[lga1000]．

当0≤lgan<1时，n=1，2，…，9；

当1≤lgan<2时，n=10，11，…，99；

当2≤lgan<3时，n=100，101，…，999；

当lgan=3时，n=1000．

故T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893

例2 求 [log21]+[log22]+[log23]+…+[log22012]的值.

解[log21]=0，[log22]=1，[log23]=1，[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2，

当2k≤n<2k+1时，[log2n]=k，k,n是自然数，故有：

原式=0+1×(22-2)+2×(23-22)+…+9×(210-29)+10×(2012-1023)

=1×2+2×22+3×23+…9×29+9890=8194+9890=18084

评注 例1，例2不需要什么技巧，只要理解取整函数的概念即可解决问题.

二、有关高斯函数图象题

图3

A.函数f(x)在(m+1,+)上的值域为

B.函数f(x)图象关于直线x=m对称

C.函数f(x)在(m,+)是减函数

D.函数f(x)在(m+1,+)上的最小值为

图4

三、有关高斯函数方程题

评注型如[ax+b]=cx+d或[ax+b]+[cx+d]=e的方程通常利用取整函数的定义与性质，结合换元法求解.

四、有关高斯函数的数列题

当a=1时，x1=1，x2=x3=…=xn=1，但当a=3时，x1=3,x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1,…，此时可以看出数列{xn}，从第二项起是以2为周期重复出现，不存在正整数k，使得当n≥k时总有xn=xk，故②不正确.

评注本题借用取整函数，构造一个新数列，主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成，设计新颖，构思精妙，难度较大.解此类题的关键是理解函数[x]的意义.