关于参变分离法的深入探究

马晋华

[摘  要] 参变分离是求解不等式恒成立取值问题的常用方法，可有效规避分类讨论，部分情形中需引入洛必达法则，同时参变分离法求解时会涉及不同阶求导情形. 文章对一道试题加以探究，并深刻剖析参变分离法，提出相应的学习建议.

[关键词] 函数;恒成立;参变分离;导数;不等式

[⇩] 问题初探

参变分离法是求解函数与导数问题常用的解法，但对于其中一类与恒成立相关的问题，初步解析来看可用参变分离法，但后续可能产生一些附属问题，如计算求值时出现分母为零无法计算、函数极值无法确定等，下面进行深入探究.

问题：已知函数f（x）的解析式为f（x）=lnx-，如果f（x）≥0在x≥1时始终成立，试求a的取值范围.

分析：f（x）是含有参数a的复合函数，问题可归为不等式恒成立问题，需要使用导数的相关知识，若用参变分离法解析，则过程如下.

参变分离时需对分母进行讨论，当x=1时，有f（1）=ln1-=0，所以f（1）≥0成立.

当x>1时，参变分离原不等式，可得a≤，求不等式在[1，+∞）上恒成立时a的取值范围，构造函数利用导数来研究取值.

构造函数g（x）=，对应导函数为g′（x）=. 令h（x）=x--2lnx，则h′（x）=≥0，故函数h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）=0，则g′（x）≥0，可知g（x）在[1，+∞）上单调递增，进而可知a的取值范围应为a≤g（1），而当x=1时，g（1）的分子、分母均为0，此时必须使用洛必达法则才可解决问题，但会存在两个问题：洛必达法则是高等数学知识，属于超纲内容，部分省份阅卷可能得不到满分;对于一般学生而言，洛必达法则难以理解，并不能灵活使用.

对于该种情形，开展解题探究需要关注两点：一是关注该种题型的基本特征，二是关注问题的基本解法.

[⇩] 深入解读

1. 方法解读

上述问题属于不等式恒成立的取值范围问题，求参数的取值需要借助导数知识，必然离不开切线思想，即如果f（x）=0，则f（x）≥0在区间[x，+∞）上恒成立的必要条件为f′（x）≥0，显然函数在x处应不减，通常实际问题所给的定义域的端点就为所需的零点. 解题时需要深刻理解切线法在零点处的单调递增的思想，这是解题的精髓，也是解题的基本原理. 实际解题时可按照如下三步进行思路构建：

第一步，令f′（x）≥0，确定待求参数的一个基本范围;

第二步，若证明参数不在该范围内，则不满足题意;

第三步，第一步所得的参数范围是满足题意的必要条件，故后续只需证明该范围为满足条件的充要条件即可.

2. 問题突破

按照上述解法分析，对于原问题可采用如下方法解答.

已知f（x）=lnx-，在x≥1上f（x）≥0恒成立，可知分母恒大于0，可对其通分，可得f（x）=，令h（x）=（x+1）lnx-a（x-1），则问题变为在x≥1上h（x）≥0恒成立，可得h（1）=0. 由切线思想构建思路，令h′（1）≥0，可得a≤2，后续进行解析说明即可.

当a≤2时，通过求导可证该函数在定义域上单调递增，即h（x）≥h（0）=0恒成立.

而当a>2时，h′（x）=lnx+1+-a，h″（x）=≥0，因为h′（1）=2-a<0，h′（ea）=1+，所以在（1，ea）上必然存在零点x，故当x∈（1，x）时函数h（x）单调递减，则有h（x）<h（1）=0，原命题不成立，即a>2不满足条件.

3. 问题解惑

上述对一道不等式恒成立问题的解法进行了探究，对比两种解法，显然解题方法的选择十分重要. 日常探究就需要关注问题的特征，解题初始准确定位问题，确定合适方法，避免陷入误区，以及出现超纲内容. 尤其在使用参变分离法时，需要关注所构函数是否会出现特殊点使其分子、分母同时为0的情形，造成必须使用洛必达法则. 同时掌握切线法的规避技巧，破除法则限制.

以上述问题为例，解题初始需要定位特殊点（1，0），判断函数f（x）经过点（1，0）. 而对于一般的复合函数，若函数涉及lnx，则需将x=1，x=e，x=代入其中;若涉及了ex，则需将x=0，x=1，x=-1代入其中，观察函数是否经过特殊点. 原题中设定义域为[1，+∞），易知特殊点为x=1.

[⇩] 类题探究

参变分离法广泛适用于不等式恒成立取值问题，参变分离后可将不等号的两侧分离为参数、代数式，只需求一侧代数式的最值. 对于较为复杂的代数式，可以依托代数式构造函数，利用导函数来分析最值. 从导数阶数来看，可将问题类型分为一阶导数、多阶导数，下面举例探究.

类型一：一阶求导——参变分离

例1：已知函数f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2），若x≥-2，f（x）≤kg（x），试求k的取值范围.

解析：由题意可知x2+4x+2≤kex（2x+2），对于任意的x≥-2恒成立，采用分离参数法解析.

当x=-1时，若上述不等式恒成立，则k∈R;

当x>-1时，可将上式转化为k≥，令h（x）=（x>-1），对应导函数为h′（x）=，分析可知h（x）在x=0处可取得最大值，故k≥h（0）=1;

当-2≤x≤-1时，将上式化为k≤，则h（x）在区间上单调递增，说明h（x）在x=-2处取得最小值，故k≤h（-2）=e2.

综上可知，k的取值范围为[1，e2].

评析：上述在求解不等式恒成立的参数取值时，充分利用了参变分离的方法，并且通过一阶求导就确定了所构函数最值，推导出参数的取值范围. 而在参变分离解析过程中，需要关注函数的定义域，在定义域下进行单调性、取值讨论.

类型二：二阶求导——参变分离

例2：已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R，e为自然对数的底数），对于任意的x∈

0，

，f（x）>0恒成立，试求a的最小值.

解析：代入函数解析式，参变分离，题目转化为关于x∈

0，

时，a>2-恒成立.

令l（x）=2-（x∈

0，

），对应导函数为l′（x）=. 再令m（x）=2lnx+-2（x∈

0，

），对应导函数为m′（x）=<0，则函数m（x）在

0，

上单调递减，则有m（x）>m

=2-2ln2>0. 故l′（x）>0，所以函数l（x）在区间

0，

上单调递增，则有l（x）<l

=2-4ln2，故要确保不等式恒成立，只需确保a的取值范围为[2-4ln2，+∞），即a的最小值为2-4ln2.

评析：上述同为参变分离法，但構造函数完成一阶求导后依然难以确定函数的单调性，故需要进行二阶求导，求导过程需要注意区分函数、定义域、取值等，这也是导数问题的难点所在.

[⇩] 总结反思

上述深入探究了参变分离法破解不等式恒成立问题的构建思路，并剖析了规避洛必达法则的技巧，同时结合参变分离探究一阶求导和二阶求导的过程. 参变分离法实质上是一种转化策略，不等式恒成立破解的核心知识依然是导数，单调性分析、最值确定是问题突破的重要环节. 探究学习提出以下两点建议.

建议一：理解参变分离的本质，参变分离是规避分类讨论的方法技巧，是不等式恒等转化的策略，将不等式分离为不等号两侧是不同的结构，一侧为参数，另一侧为代数式，为后续的函数构造分析打下基础. 参变分离过程中隐含了数学的分离思想、化归转化思想，理解方法本质，感悟思想内涵是探究学习的关键，教学中应重点关注.

建议二：总结归纳参数分离，参变分离法的学习要关注两点：一是确定变量与参数，二是参变分离适用的范围. 前者是参变分离的基础，后者则是方法应用探究的重点. 学习时需要注意是否可将变量与参数分离，分离后所构的解析式是否可求出最值. 若如上述引例中出现的情形，则需要提前讨论规避. 教学中可引导学生对常见的恒成立问题进行条件转化、内容探究，生成常见的最值情形.

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