基于MATLAB对夫琅禾费圆孔衍射的仿真

李新龙

（西藏大学 理学院 物理系，西藏 拉萨 850000）

0 引言

由于光学成像系统中光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以探讨圆孔夫琅禾费衍射对于分析光学仪器成像、评估仪器成像质量以及圆孔衍射实验的理论教学具有十分重要的意义。近年来，为推动大学物理实验教学的发展和完善已有夫琅禾费衍射理论教学，有关圆孔衍射的研究可见诸于诸多文献，如：文献[1]借助衍射理论的数学模型，利用MATLAB对夫琅和费衍射进行计算机模拟，文献[2]利用MATLAB、GUI设计方法和颜色匹配理论，最终可获得不同颜色的圆孔衍射图样。然而，这些文献缺乏对整个衍射过程物理图像的呈现，无疑给夫琅禾费圆孔衍射的教学和学生对该实验的理解增加了难度。因此，本文考虑来自光源的一列经透镜折射的平面波正入射到一圆孔衍射屏上，在圆孔衍射屏上取柱坐标，而后依据惠更斯-菲涅尔原理，导出接受屏上圆孔衍射的光强分布。在此基础上，运用MATLAB对光线的整过传播过程进行仿真模拟，最终得到了圆孔的夫朗禾费衍射仿真图，这让学生直观地感知了整个衍射过程，加深了学生对圆孔衍射的理解，同时为圆孔衍射实验的理论教学又提供了新的教学方法。

1 圆孔的夫琅禾费衍射理论

假设衍射屏上的圆孔的中心位于坐标原点O，一束来自光源的光经过凸透镜后成为一列平面光波正入射到圆形孔上，在该圆孔平面上取柱坐标[3-4]（如图1所示，其中Q为光源，G为圆孔衍射屏，H为接收屏，L1和L2为透镜，f1和f2分别表示物方焦距和像方焦距），有考虑在点M附近一个无穷小的面元 ，如果在处的振幅和相位分布由函数 给出，则在点P来源于那些无穷小面元的波的场分布正比于

图1 夫琅禾费圆孔衍射原理图

将式（3）中分母上的r用z来代替，则

其中

表示空间频率。

由夫琅禾费近似成立的条件[5]。

在这一近似条件下，式（5）可化为如下形式

式中a表示圆孔衍射屏的半径，且用到 了关系式[6]

式（9）可化为

为点O’的强度，该光强分布被称为艾里函数。其中圆孔衍射光强分布的前几个极大值和极小值如下表

表1 圆孔衍射强度分布的前几个极大值和极小值

依据上述理论推导和实验测量的结果，夫琅禾费圆孔衍射图样有以下特点[7-8]：

（1）接收屏上的衍射条纹是一系列明暗交替的同心圆环。

（2）中央是零级衍射斑，级次越大的条纹的角半径越大。

（3）不同级次的圆环之间的角距离不相等。

（4）不同级次的衍射亮纹的辐射通量并不相等。其中，中央主极大为一圆形亮斑（即艾里斑），其通量约占衍射总通量的84%。

2 夫琅禾费圆孔衍射仿真

依据夫琅禾费圆孔衍射的理论推导、衍射的原理图，利用MATLAB强大的可视化功能，对整个衍射过程进行仿真模拟，MATLAB编写的程序代码如下[9-14]：

代码运行结果

图2 夫琅禾费圆孔衍射仿真图

图3 弗朗禾费圆孔衍射强度分布

经过与教材[7]中夫琅禾费圆孔衍射强度分布曲线、衍射图样对比，两者契合得很好。

3 结语

运用MATLAB对整个夫琅禾费圆孔衍射过程进行仿真模拟，仿真的结果很好地呈现了圆孔衍射的光线传输过程、光强分布曲线和衍射图样，这与理论推导的结果契合得非常好，说明了仿真结果的可靠性。与此同时，加深了学生对圆孔衍射理论和现象的理解以及认识，激发了学生的学习热情，丰富了教学的方法，提高了课堂教学质量。