原子质量对一维三原子链色散关系的影响

赵 远，胡建民，王月媛，牛 丽

(哈尔滨师范大学 光电带隙材料教育部重点实验室 物理与电子工程学院，黑龙江 哈尔滨 150025)

一维原子链是固体物理晶格动力学的基本模型，模型虽然简单却极具代表性.利用经典的牛顿力学方法求解的一维原子链色散关系也成为分析晶格原子振动特点及晶体性质的理论基础.简谐近似下求解晶格原子的动力学方程可得晶格常数为a的一维单原子链色散关系为[1]

(1)

(2)

为进一步研究原胞中三个原子的运动特点，孙美慧等人[5]求解一维三原子链的动力学方程得到其色散关系为

-m1m2m3ω6+2β(m2m3+m1m3+m1m2)ω4-

3β2(m1+m2+m3)ω2+2β3(1-cos 3qa)=0

(3)

上式中m1、m2和m3是原胞中依次等间距排列的三个不同原子的质量.如果令m1m2m3=xj，m1+m2+m3=xh，m2m3+m1m3+m1m2=xjh，可得

(4)

(5)

(6)

其中θ=arccosT，而

根据式(4)、式(5)和式(6)可得一维三原子链的色散关系曲线，如图1所示.由图1可见，一维三原子链的色散关系曲线包括3支，分别为声学波ω1、低频光学波ω2和高频光学波ω3，存在两个频率禁带，即低频光学波与声学波之间的频率禁带ωg1和高、低频光学波之间的频率禁带ωg2.孙美慧[5]在此基础上讨论了一维三原子链与一维单原子链色散关系的内在联系，并未对频谱宽度以及频率禁带进行深入研究.

本文以原胞内原子质量分别为m1、m2和m3的一维三原子链为研究对象，在恢复力系数不变的情况下分析原子质量对频谱宽度Δω1、Δω2和Δω3以及频率禁带ωg1和ωg2的影响规律，研究结果可为晶体带通滤波器的设计及晶体的性质分析提供理论依据，也是对固体物理教学内容的丰富和补充.

图1 一维三原子链简约布里渊区的色散关系曲线

1 原子质量对一维三原子链频谱宽度的影响

为分析一维三原子链频谱宽度随原子质量变化的基本规律，在一维三原子链中，取原子质量不同m1≠m2≠m3且m1

图2 一维三原子链频带顶和频带底随原子质量变化的关系曲线

由图2可见，随原子质量m1、m2和m3增加，所有频带的带顶和带底均降低，只是图2(a)中声学波和低频光学波频带顶随m1变化，图2(b)中声学波的频带顶随m2变化，图2(c)中低频和高频光学波的频带底随m3变化相对微弱，其余频带顶和频带底均随原子质量的增加而降低.

图3为一维三原子链频谱宽度随质量变化的关系曲线，图3中曲线同样是在原胞内三个原子、其中两个原子质量为定值而另一原子质量变化的情况下得到的，图中原子质量数据使用三个原子质量的相对值.

图3 一维三原子链频谱宽度随原子质量变化的关系曲线

由图3可见，原胞内三个原子的质量变化对三支格波的频谱宽度均有影响，这与一维双原子链明显不同，一维双原子链声学波频谱宽度只与重原子质量有关.这说明在原胞内含有三个原子的情况下频谱宽度的改变是晶体中所有原子参与的集体运动行为.由图3(a)可见，声学波频谱宽度Δω1随原子质量m1、m2和m3的增加均逐渐减小，即声学波的频率极限不断降低，其变化率随m3变化最为显著，随m1变化微弱，说明声学波频谱宽度变化主要取决于大原子质量变化.由图3(b)可见，低频光学波频谱宽度Δω2随小原子质量增加显著增加，随大原子质量的增加而显著降低，随中间原子质量的增加先增大而后减小，变化相对微弱.

由图3(c)可见，高频光学波频谱宽度Δω3随小原子质量增加而显著增加，而随大原子质量增加显著减小，与低频光学波频谱宽度变化规律相近，这说明光学波频谱宽度变化更多地取决于大原子和小原子质量的变化.对比图3(b)和(c)可见，中间原子质量变化对光学波，特别是对低频光学波频谱宽度影响相对微弱.

2 原子质量对一维三原子链频率禁带的影响

图4(a)和4(b)分别是一维三原子链频率禁带ωg1和ωg2随原胞中原子质量变化的关系曲线.图4中同样取原胞内三个原子，其中两个原子质量为定值而另一原子质量变化，原子质量数据使用三个原子质量的相对值.由图4可见，原胞内三个原子质量的变化都显著影响频率禁带的变化，说明频率禁带变化是原胞内三个原子均参与的集体运动行为.

由图4(a)和4(b)可见，频率禁带ωg1和ωg2均随小原子质量m1的增加而逐渐变窄，而随大原子质量m3的增加逐渐变宽；随中间原子质量m2的增加，ωg1逐渐变窄而ωg2逐渐变宽.一维三原子链的频率禁带ωg1和ωg2分别取决于低频光学波频带底ω2b与声学波频带顶ω1t，以及高频光学波频带底ω3b与低频光学波频带顶ω2t的变化.随原子质量的增加，低频光学波频带底ω2b和声学波频带顶ω1t、高频光学波频带底和低频光学波频带顶均降低的情况下，频率禁带可能变宽也可能变窄，主要取决于二者下降的幅度.

图4 一维三原子链频率禁带随原子质量变化的关系曲线

首先，频率禁带ωg1随m1的增加而显著变窄，这是图2(a)中随m1的增加声学波频带顶ω1t微弱降低，而低频光学波频带底ω2b显著降低造成的；频率禁带ωg2随m1的增加而逐渐变窄，这是图2(a)中随m1的增加高频光学波频带底ω3b显著降低，而低频光学波频带顶ω2t微弱降低造成的.其次，随m2的增加频率禁带ωg1显著变窄，而频率禁带ωg2显著变宽，这是图2(b)中随m2的增加，低频光学波频带底ω2b显著降低而声学波频带顶ω1t微弱降低，以及低频光学波的频带顶ω2t显著降低而高频光学波的频带底ω3b微弱降低导致的.最后，频率禁带ωg1和ωg2均随m3的增加逐渐变宽，这是图2(c)中随m3的增加低频光学波频带底ω2b微弱降低，而声学波频带顶ω1t显著降低，以及高频光学波频带底ω3b微弱降低，而低频光学波频带顶ω2t显著降低引起的.

利用一维光子晶体超晶格概念和光子带隙结构可以设计各种不同的滤波器[6]，光子晶体研究的核心内容之一就是能带结构的调整.一维三原子链可以看作是具有两个频率禁带的晶体带通滤波器，本文的相关研究结果可为带通滤波器的设计提供理论参考.

3 结论

本文通过数值分析讨论一维三原子链原胞内原子质量对色散关系的影响，主要研究频谱宽度和频率禁带随原子质量变化的基本规律.

频谱宽度研究结果表明，在原胞中只有一个原子质量发生变化的情况下，随小原子质量m1增加，声学波频谱宽度Δω1逐渐变窄且变化微弱，而两个光学波频谱宽度Δω2和Δω3显著增宽；随中间原子质量m2增加，Δω1和Δω3逐渐变窄，而Δω2先增宽而后变窄且变化微弱；随大原子质量m3增加，Δω1、Δω2和Δω3均显著变窄.频率禁带研究结果表明，在原胞中只有一个原子质量发生变化的情况下，随小原子质量m1的增加，频率禁带ωg1和ωg2均显著变窄；随中间原子质量m2增加，ωg1显著变窄而ωg2显著增宽；随大原子质量m3的增加，ωg1和ωg2均显著加宽.引起上述结果的主要原因是原子质量变化导致格波频率和频谱宽度发生变化.此外，与一维双原子链色散关系不同，一维三原子链原胞内任意一个原子质量发生变化都会引起所有格波频谱宽度和频率禁带的变化，说明色散关系所表征的晶格振动模式是原胞内三个原子全部参与的集体运动行为.

本文相关研究结果可为带通滤波器设计提供理论参考，同时也是对固体物理教学内容的丰富和补充.