单关节机器人伺服系统的建模与仿真

谢芳芳，杨 鉴

（1.湖南工业职业技术学院电气工程学院，湖南 长沙，410208；2.岳阳市污水处理监督中心，湖南 岳阳，410000）

1 引言

机器人的模型和控制都是以单关节机器人为基础的，这是因为机器人的所有运动都可以通过各关节的旋转来配合实现[1]。单关节机器人的典型结构是一个电机带动一个细长刚体，工业机械手模型就是以两个单关节机器人模型连接起来组成的[2]。机器人控制系统的设计与调试都离不开仿真，建模与仿真是连在一起的，在系统的建模和仿真中，单关节机器人伺服系统的建模与仿真是必不可少的关键[3]。

用于机器人系统仿真的软件有很多，其中MATLAB 软件是目前应用最广泛的系统建模和仿真的开发平台[4]。该软件所包含的Simulink 工具包不但能仿真机器人的机械、电气系统，而且可以方便地进行控制系统的建模与仿真[5]。

本文对单关节机器人伺服系统的建模与仿真做了深入研究。首先对单关节机器人的规划轨迹、机械结构、电气结构和控制器分别建立数学模型；然后根据数学模型在MATLAB/Simulink 平台上搭建伺服系统的仿真模型；最后对仿真模型进行实际仿真，并对仿真结果做了分析。

2 伺服系统的数学模型

单关节机器人的典型结构如图1 所示。图中单杆是一个横截面为矩形的细长刚体，单杆的一端是轴心端，另一端是自由端。轴心端安装有电机和减速器，起到一个关节的作用；自由端则起到手爪的作用[6]。单关节机器人的运动就是单杆以轴心端为圆心做旋转运动，运动过程中单杆的角速度期望值、角加速度期望值由生产工艺的需要给出。

图1 单关节机器人的结构示意图

2.1 规划轨迹的数学模型

为了便于建模，规定单杆的运动过程是：单杆在初始位置从静止状态开始逆时针旋转，途中经历加速、匀速和减速的过程，旋转一周重新回到初始位置时正好又处于静止状态。因此，设旋转一周的时间为tc，加速阶段、减速阶段的时间均为2δ，则运动过程可分为三个阶段：加速阶段（0≤t≤2δ），匀速阶段（2δ≤t≤tc－2δ），减速阶段（tc－2δ≤t≤tc）。单杆的期望转角η（t）变化曲线如图2 所示。

图2 单关节机器人的期望转角η（t）变化曲线

为了精确地描述运动轨迹，采用五次多项式来模拟图2 的曲线，即

为了保证机器人的运动在加速度上的要求，轨迹函数的约束条件有6 个，即

在运动的三个阶段，约束条件取值不一样。加速阶段的约束条件取值为

减速阶段的约束条件取值为

分别将式（5）、（6）代入式（1）～（3），可解得未知系数an，进而得到三个阶段的轨迹函数θ加速（t）、减速阶段的轨迹函数θ减速（t）为

由式（7）、（8），可得匀速阶段的轨迹函数η匀速（t）为

式（7）～（9）就是单关节机器人规划轨迹的数学模型。

2.2 机械结构的数学模型

利用拉格朗日方程建立单杆运动的数学模型[7]。设n 维力学空间中Q 点的坐标为（q1，q2，…，qn），且qj（j=1，2，…，n，下同）所受合力为fj。定义拉格朗日函数L= T- U，这里T 是动能，U 是势能，则拉格朗日方程的一般形式为

式中，D 是能量损失。考虑到黏性摩擦，能量损失为

式中，cj是黏性摩擦系数。

单杆的坐标系如图3 所示[8]。为了简化运算，忽略电机和齿轮的质量以及惯性的影响。以单杆的轴心端为原点，存在两个坐标系。其中，固定坐标系（0）的坐标轴为（0x，0y，0z），它是世界坐标系（X，Y，Z）在XY 平面上的一个平移。固定于单杆的坐标系（1）的坐标轴为（1x，1y，1z），其中1z 轴与0z 轴重合。单杆坐标系（1）随着单杆的转动而相对于固定坐标系（0）绕0z 轴旋转。

图3 单杆的坐标系统

由图3 可计算出固定坐标系（0）中单杆重心的移动速度向量Vg1、单杆旋转的角速度向量1ω，分别为

式中，r1是单杆重心到原点的距离，θ1是单杆的转角。

单杆的动能T 是单杆运动时的速度与角速度的能量之和：

式中，m1是单杆的质量，Izzg1是单杆重心在z轴方向的转动惯量。

将式（12）、（13）代入式（14），得

考虑到单杆是在XY 平面上转动，重力和势能可忽略不计，因此有

式中，τ1是作用在单杆上的转矩。

将式（15）、（16）代入式（10）、（11），整理得

式（17）就是单关节机器人机械结构的数学模型。

2.3 电气结构的数学模型

电气结构包括电机、减速器和角度传感器。电机可以采用直流电机、交流电机，交流电机的动态数学模型较复杂，这里为了便于建模，采用直流电机，如图4 所示。

直流电机产生的电磁转矩Te与电枢电流ia成正比，其比例常数KT 称为转矩系数，即：

直流电机产生的反电动势e 与电枢转速ωa成正比，其比例常数Ke称为反电动势系数，即：

式中θa是电枢转角是电枢转速。

在电机内电刷压降忽略不计的情况下，由基尔霍夫电压定律可得电枢电压方程

式中，u 是电枢电压，Ra是电枢电阻，La是电枢电感。

直流电机产生的电磁转矩Te与将要传递给负载方的转矩τa的平衡关系为

式（18）～（21）构成直流电机的动态数学模型。

图4 直流电机和减速器的结构示意图

减速器由两个齿轮啮合而成，与电机联接的是小齿轮，齿数为na，与单杆联接的是大齿轮，齿数为n1，故变速比N= n1/na。考虑到齿轮传动会损失部分能量，引入传动系数ξ（0≤ξ≤1）。因此减速器单杆侧转矩τ1与电机侧转矩τa之间的关系为

式（22）就是减速器的数学模型。

角度传感器用来检测单杆的转角θ1，可以忽略延迟效应[9]，它与电机的电枢转角θa之间的关系为

式（23）就是角度传感器的数学模型。

2.4 控制器的数学模型

伺服系统是位置控制系统，被控量是单杆的实际转角θ1（t）。规划轨迹给出的是单杆的期望转角η（t），实际转角θ1（t）由角度传感器检测得到，θ1（t）与η（t）比较后得到偏差e（t），送入控制器。控制器可以采用的控制算法有很多种，本文采用经典的PID 算法，即比例- 积分- 微分算法[10]：

式中，u（t）为PID 控制器的输出，e（t）为PID控制器的输入，KP为比例项系数，KI为积分项系数，KD为微分项系数。

式（24）是模拟PID 算法表达式，为了便于计算机运算，需要将式（24）变换成数字PID 算法，以一系列的采样时刻点k 代替连续时间t，以求面积的方式近似代替积分，用差分代替微分。基本的数字PID 算法有位置式、增量式两种，前者在求解积分项时要用到过去偏差的累加值，容易产生较大的累计误差，而后者不需要累加，同时大大减小计算量，通常采用增量式PID 算法，表达式为

单关节机器人伺服系统的结构如图5 所示。

图5 单关节机器人伺服系统结构图

3 伺服系统的仿真模型

根据上述数学模型在MATLAB/Simulink 平台上搭建伺服系统的仿真模型，如图6 所示，图中Trajectory 模块是规划轨迹，Mechanic 模块是机械结构，Motor 模块是直流电机，Gain 和Gain1 模块是减速器，Gain2 和Gain3 模块是角度传感器，PID模块和Saturation 模块是控制器。

图6 单关节机器人伺服系统仿真模型

3.1 规划轨迹的仿真模型

规划轨迹的仿真模型即图6 中的Trajectory模块，输入是时间t，输出是单杆的期望转角η（t）。打开Trajectory 模块，如图7 所示，它根据式（7）～（9）搭建而成，这里运动周期tc 取值2.5。图7 中Enabled Subsystem、Enabled Subsystem1 和Enabled Subsystem2 模块分别是加速阶段、匀速阶段和减速阶段的轨迹函数，如图8 所示。

图7 规划轨迹的仿真模型

图8 三个阶段轨迹函数的仿真模型

3.2 机械结构的仿真模型

机械结构的仿真模型即图6 中的Mechanic 模块，输入是作用在单杆上的转矩τ1，输出是单杆的实际转角θ1。打开Mechanic 模块，如图9 所示，它根据式（17）搭建而成。

式（17）是一个二阶微分方程，在搭建仿真模型时，应尽量避免采用Derivative（微分）模块，因为该模块将非连续信号引入到所建模型中，若非连续信号过大，则会导致求解错误。因此图10 所示的仿真模型应避免采用，它含有微分模块。

3.3 电气结构的仿真模型

电气结构中直流电机的仿真模型即图6 中的Motor 模块，输入是电枢电压u、电枢转角θa，输出是将要传递给负载方的转矩τa。打开Motor 模块，如图11 所示，它根据式（18）～（21）搭建而成。

图11 直流电机的仿真模型

式（19）（20）的实现采用传递函数。将式（19）代入式（20）得

对上式实施拉普拉斯变换，整理后得到

式（21）的实现采用近似微分。这是因为一般情况下单纯的微分环节很容易受到高频噪声的干扰，为了防止这种现象的发生，常采用近似微分代替单纯微分。近似微分是给单纯微分s 串联一个影响较小的低通滤波器形式，这里a = 0.01。

3.4 控制器的仿真模型

控制器的仿真模型即图6 中的PID 模块和Saturation 模块。打开PID 模块，如图12 所示，它根据式（24）搭建而成。

图12 控制器的仿真模型

式（24）的实现采用传递函数。对式（24）实施拉普拉斯变换，整理后得到

式中，TI= KP/KI为积分时间常数，TD= KD/KP为微分时间常数。

在上式中，用近似微分代替微分：

式（29）的仿真模型即为图12。

PID 模块的输出也就是直流电机模块的输入。由于直流电机的输入电压是有上下限的，若超限则可能损坏电机，因此在PID 模块与直流电机模块之间插入一个饱和模块。

4 仿真结果分析

运行仿真模型前，将模型中的参数赋初值。规划轨迹中δ= 0.25；机械结构中r1= 0.1m，m1=0.02152kg，Izzg1=2.08×10-7kg·m2，c1=0.001N·s/rad；电气结构中Ra= 10Ω，La= 0.0044H，KT= 0. 05N·m/A，Ke= 0.05V·s/rad，J = 10-5kg·m2，Bm= 10-6N·s/rad，N=1000，ξ=0.7；控制器中KP=100，TI=0.1，TD=3，a=0.1，上下限设定为+24 和-24。相关仿真结果如图13 所示。

图13 有三条曲线，从上到下分别为：规划轨迹η（t）和单杆实际转角θ1（t），PID 控制器限幅后的输出曲线，作用在单杆上的转矩τ1（t）。由图可知，单杆实际转角曲线与规划轨迹曲线吻合良好，说明伺服系统的位置跟踪精度高，整个运动周期能够根据规划的轨迹进行运动。

单杆在旋转一周的过程中角度的变化情况，如图14 所示。从图中可以看出，单关节机器人的运动分为三个过程，从起始位置开始，按照逆时针的运动方向，分别经历加速区间、匀速区间、减速区间，最后回到初始位置，也就是单关节机器人按照规划好的轨迹运行一周的过程，说明伺服系统能够很好地控制运动过程。

图13 仿真结果

图14 单杆自由端的实际运动轨迹

5 结语

本文以单关节机器人为对象，针对伺服系统的建模与仿真问题做了深入研究。设定单关节机器人绕固定轴转动，经过加速、匀速、减速后回到初始位置的运动过程，建立了其按照规定轨迹运动的机械结构、电气结构和控制器的数学模型，以及对应的MATLAB/Simulink 仿真模型。仿真结果表明，伺服系统的位置跟踪精度高，整个运动过程能够根据规划的轨迹进行运动，并且能够很好地控制其运动过程。本文的工作为机器人系统的优化设计与调试提供了有效模型和依据。