微专题：起于高考，落于素养
——以“两数列公共项问题”为例

2021-04-17 20:20江苏省木渎高级中学215101

中学数学月刊 2021年5期

朱伟 (江苏省木渎高级中学 215101)

传统高三二轮复习以知识块、思想方法等分类进行，但实践发现其存在大量重复一轮内容、考点精准度不足、思维深度不够等弊端，故目前比较盛行与微专题复习结合的方式．微专题因内容直指高考，且体量小、精准度高、容易讲透而被一线教师高度认可．本文结合一节高三微专题课的教学片断，谈谈对微专题教学的一些思考．

1 教学片断

数列作为选择性必修课程中函数主题的重要内容，要求“能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系、等比关系”；在高考中承载数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等素养的考查，属于高频考点．注意到人教A版选择性必修二习题4.2综合运用第8题是两个等差数列公共项新构数列求和问题，与2020年山东卷第14题高度吻合，公共项新构数列相关知识与技能、思想与方法在前面的新授课和一轮复习中未涉及或并未形成体系，故针对该新情况编制“两数列公共项问题”微专题．

例1(2020年山东卷第14题)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．

师：请同学们说说你会如何求解？

生1：写几个找规律！数列{2n-1}的项依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,…;数列{3n-2}的项依次是1,4,7,10,13,16,19,….它们公共项从小到大排列得到的新数列{an}的项依次是1,7,13,19,…,即是以1为首项、6为公差的等差数列，故数列{an}的前n项和为3n2-2n．

师：这位同学使用不完全归纳法，从特殊到一般，寻找新数列中项的变化规律，获得新数列为等差数列再求和．从策略角度看，这是研究数列问题，特别是选择题、填空题的不错方法．

生2：我发现数列{2n-1}与{3n-2}公差的最小公倍数6就是新数列的公差，且首项为1，此时问题可解．

师：你如何说明“两等差数列公差的最小公倍数6就是新数列的公差”呢？

生2：当确定首项为1后，1+6=2×4-1且1+6=3×3-2，说明7是公共项．一般地,1+6k=2×(3k+1)-1且1+6k=3×(2k+1)-2，说明1+6k是公共项．

师：非常棒！从两个等差数列的公差入手，发现新数列是等差数列，并且最小步长为两公差的最小公倍数，利用验项的方式论证发现．

师：还有其他解法吗？(没有学生发言)那我们来练习一题．

练习将数列{2n-1}与{5n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的通项公式是．

生3：新数列{an}首项为9，公差为10，所以an=10n-1．

师：不错！使用发现的规律可秒杀此题！那你能将这类问题一般化吗？

生3：由数列{d1n-t1}与{d2n-t2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，若首项为a1，且d1,d2的最小公倍数为d，则通项公式an=a1+d(n-1)．

师：感谢这位同学建立了两个等差数列公共项从小到大排列构成新数列的数学模型．也就是利用逐个比较的办法找出首项，然后计算两公差的最小公倍数即可．

设计意图目前，山东卷是课改地区的风向标，从形式到内容都被深入研究，以便能有效地指导教学．公共项问题属于重组数列范畴，它考查学生的数据分析能力、数学建模能力以及探究论证能力．以高考原题为引，辅以变式实践，与学生共同探究发现并反思总结此类问题的一般策略，建立两个等差数列公共项从小到大排列的新构数列通项模型，实现由特殊到一般的思维转化．

变式1 将数列{4n+3}与{3n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，求{an}的通项公式．

师：谁来说说这个问题的解法?

生4：我通过检验{3n}中的项3,32,33,34,35,36,37是否在数列{4n+3}中，发现33,35,37在数列{4n+3}中，所以an=32n+1．

师：他的解法正确吗？

生：答案是正确的，但是过程不妥！

师：这位同学，你来说说，哪里不妥？怎么修正？

生5：这是不完全归纳，虽然答案是正确了，但不是严谨的算证，不可成为简答题的过程．其实，设bn=3n，我们只需要在找出首项a1=b3=33后，假设bk=3k是数列{4n+3}中的第t项，即3k=4t+3，因为bk+1=3k+1=3×3k=3(4t+3)=4(3t+2)+1，故bk+1不是数列{4n+3}中的项；因为bk+2=3k+2=9×3k=9(4t+3)=4(9t+6)+3，故bk+2是数列{4n+3}中的项；即有a1=b3,a2=b5,…,an=b2n+1,…所以数列{an}的通项公式是an=32n+1(n∈N*)．

师：非常棒！从指数级增长的等比数列入手，一般性地验证另一个数列中的项是否为公共项而获得求解．可以看做是处理以上两类数列中公共项新构数列通项的一般方法．

设计意图数学教学本质是思维教学．解决问题的思维与方法，不该是一题之法，至少应是一类之法，乃至于数学之通法．从两个等差数列到一个等差数列和一个等比数列公共项重组，延续的是思维，创新的是方法，让学生在解决问题的过程中暴露不足，即时修正，使之前探求通项的模型得以验证与拓展，使其更具一般性，这也是本专题设计的初衷．

变式2 将数列{2n-1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，求{an}的通项公式．

生6：设bn=n2，找出首项a1=b1=1后，假设bk=k2是数列{2n-1}中的第t项，即k2=2t-1，然后我就不知道如何处理了．

师：你认为不能继续的原因在哪里呢?

生6：bk+1=(k+1)2不知道如何用t表示，似乎刚才的递推方式不适用了．

师：矛盾点已经被你找到了，那么剧情的发展就需要想办法消除这个难点．请同学们讨论一下.

生7：参考整数问题的常见处理方法，我关注到2t-1是奇数且奇数的平方仍然是奇数，说明当k是奇数时等式成立.故可设k=2m-1，m∈N*，所以(2m-1)2=2t-1，可得t=2m2-2m+1为整数，即am=b2m-1=(2m-1)2是两数列的公共项，整理可得an=(2n-1)2．

师：遇到新的难题，就想一个类似或相近问题的解决策略进行尝试，这是波利亚的解题思维.我们这位同学像数学家一样在思考问题，真了不起！

设计意图高三复习时间短、任务重，重复训练无法提升学生解决问题的能力，只会使学生误入“题海”、徒增负担．通过有效变式不断深化问题，依托数学思维创新解决之道，方能提效增能，助力关键能力的提升．变式2属于较难的题，明显有别于“已解决过的问题”，可考虑如何使用“相近问题的处理方法”来分析，在过程中去异存同，综合使用相关知识解决遇到的棘手问题，使微专题从题型解法升华到思维运用．

2 反思感悟

2.1 理顺教考关系，增强“以考促学”的主动意识

“引导教学”是高考核心功能之一，即高考内容所体现的“为什么考、怎么考、考什么”，在研究考查载体之后应及时在后续的教学活动得以体现与落实．如研究高考试卷，梳理考点，分析高中数学内容中可承载的相应知识，在复习课中剖析使其知所以然，并与相关知识建立联系，举一反三有效拓展等．课例选材中把数列作为培育学生数学建模、数学抽象和逻辑推理等学科素养的知识载体，公共项问题恰能融合这些素养发展需求，突出数列概念和等差、等比数列的运算思想，通过数列类型的变化增加问题难度，使学生经历从感性到理性、从特殊到一般以及不同题型在解题策略上的异同，使整节课起于高考，却又高于高考．

2.2 落实“四基”，提升核心素养

“教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升”是《课标(2017年版)》提到的教学建议,掌握“四基”是培养“关键能力”的基础，亦是高效教学、学生可持续发展的保障．另一方面，数学学科核心素养的达成并非朝夕之功，而是需要在课堂教学中不断成长．诚然，在高三复习课中如何“浅入深处，回归数学本真”至关重要．正如本课例选题简洁，涉及数列概念与基本量运算这两个基本知识与技能，经历从具体到抽象建立数学模型、从分析差异到成功类比、从小组讨论到创新应用，教师重思维引导，有效培养学生相关能力与素养，使整节课在思维的激荡中落于素养.

2.3 尊重学情，实施因材施教策略

学情考虑有二：一是皮亚杰思维发展阶段理论下高中学生已经跨越“形式运演阶段”，进入抽象获取，通过较抽象问题或较复杂问题的解决提取相关数学模型，增加抽象思维训练是阶段突破的需求，符合现阶段大部分学生的思维形式；二是鉴于个体智力与思维发展水平的不同，以及知识架构、数学知识与技能使用熟练程度差异，“一步到位、深入深出”式的课堂教学势必会使相当一部分学生难以接受，进而失去学习数学的兴趣．故整体分析执教班级情况，选择恰当的例题，经历适度的思维训练，达到预设目标，实施因材施教策略，正是遵循课堂教学客观规律的重要举措．如本课例中，教师在选题上并没有追求复杂、抽象，而是选择了在高考中被定义为“基础题”的试题，解法上也具备多样化，即可使不同层次的学生从不同的角度，选取不同的策略进行解答，进而通过练习巩固，变式拓展深化，由表及里、由浅入深地提升学生思维水平．