基于偏度拟合的噪声水平估计

钟碧莹

（西南石油大学 四川省成都市 610000）

1 引言

在新媒体时代，人们通过借助先进的图像编辑软件和图像修改工具，从而使得对数字图像的控制变得非常的简单。如Adobe Photoshop[1]，GIMP（GNU 图像处理程序）[2]等。这些被控制的图像可以用来欺骗公众，甚至是诽谤一个人的人格，特别是会改变政治观点或影响刑事调查。随着图像编辑工具的发展，图像被篡改后不会留下任何可察觉的痕迹。针对于这种情况，图像的真实性和完整性面临着巨大的威胁和挑战。图像篡改检测成为维护信息安全所亟待解决的关键问题之一。例如，找到一种方法来发现和定位图像的篡改部分[3]。

本课题重点研究了一种图像拼接检测技术，通过比较不同源图像的区域来发现伪造图像。通常在图像采集和传输过程中不可避免地会受到噪声的干扰，这将会导致不同的采集设备获得的图像之间存在着噪声差异。因此噪声类型的不一致性可以作为检测图像拼接识别的依据，目前已经提出了多种用于噪声水平估计的算法，从而达到检测的结果。首先，图像拼接识别方法仅适用于单一类型的篡改识别[4]。为了检测这类篡改图像，采用特征提取分类方法。其中用于图像拼接识别的特征提取器很少，它们都是在预处理特征提取后进行的。例如DCT（离散余弦变换）[5]，SIFT（尺度不变特征变换）[6]，SURF（加速鲁棒特征）[7]等。我们的图像拼接识别方法是基于大多数数字图像的采集和传输，其都不可避免地受到各种噪声的干扰。因此噪声的不一致性可以作为检测拼接区域内噪声方差差异显著的图像识别的依据。

在图像拼接识别中，从图像的不同区域估计噪声方差是一个关键步骤。众所周知，自然的峰度值在一般的带通滤波域中对图像是正的[8]，并且也接近常数[9]。自然图像的峰度在穿过不同的带通滤波通道时是恒定的。建立目标函数，并利用图像峰度和噪声方差之间的关系来估计整个图像的噪声方差[10]。从定义的角度出发，偏度与峰度的定义相似。因此，本文中我们考虑了偏度与噪声方差之间的关系来估计整幅图像的噪声方差。

在本文中，我们利用峰度和偏度的理论相似性来解决这个问题。算法[10]是一种基于峰度的方法，不需要知道峰度值就可以估计噪声。类似的，本文利用偏度来建立与噪声的关系。

2 峰度浓度

峰度又称为峰态系数。其可以表示为概率密度分布曲线在平均值处峰值高低的特征数。从直观看来，峰度反映了一个峰部的尖度。而且样本的峰度是作为和正态分布相比较而言的统计量，如果峰度大于三，则峰的形状就会比较尖，比正态分布峰要陡峭，反之亦然。在统计学当中，峰度可以用来衡量实数随机变量概率分布的峰态。峰度高就意味着方差增大是由低频度的大于或小于平均值的极端差值引起的。在实际应用中，我们通常将峰度值做减3 处理，使得正态分布的峰度0。

3 偏态分布

人们会期望在边际系数分布的偏度中看到某种尺度不变性。自然场景的整体是尺度不变的。这意味着，在给定尺度上定义的任何量，其统计量对该尺度的任何变化都是不变的。具体来说，一个合理的假设是，斜度在整个尺度上应该是恒定的。鉴于图像是由所有距离的对象组成的事实，因此这似乎是明智的，因此不应突出任何特定的角度比例。这并不意味着任何特定的图像都是分形的！相反，场景的整体具有不变的统计量。场景的整体具有不变的统计量，场景的整体是尺度不变的，在给定尺度上定义的任何量，其统计量对该尺度的任何变化都是不变的。

在本文中，我们假设干净的自然图像的边缘分布的偏度在各个尺度上都应该是恒定的，并且在制作的各个阶段添加到图像的噪声会导致偏度值发生变化，这样便会违反尺度不变性原则。然而，情况并非总是如此。随着噪声标准偏差上升，偏度值下降，对于更高的频率更是如此。

广义高斯分布的峰态是直接依赖于其形状参数α，广义高斯分布假设x 是x～GG(μ,σ2,α)，μ 是均值，σ2方差和α 是形状参数，x的峰度是一般的高斯分布，我们定义它的峰度为：其四阶中心矩和方差分别为和特别地，根据这个定义，高斯变量的峰度为零。在最近的研究成果当中，我们观察到，对于自然图像，不同带通滤波器通道的峰度值趋向于一个常数，我们将这种现象称为峰度浓度[10]。同样的，对于一个随机变量x，我们将其偏度定义为：其中是x 的三阶中心矩，σ2是x 的方差。

在偏度的定义中，任何对称分布的偏度都为零。当偏度向左偏时，它是负偏度，而向右偏的分布是正偏度。如图1 所示。

图1

当样本增加时，偏度均值趋于正态分布。中位数受分布偏态的影响不强，单峰分布具有较强的偏态形态，中位数常被用来反映偏态分布的集中趋势。

如图2 所示，频率分布分为正态分布和偏态分布。正态分布是指大部分频率集中在中心，两端的频率分布大致对称。偏态分布是指频率分布不对称，集中位置偏于一侧，如果集中位置偏于值较小的一侧，则称为正偏态分布;集中位置偏向值较大的一侧，称为负偏态分布。偏态分布只有在满足一定条件(如样本数量足够大等)的情况下才能被视为近似正态分布。

图2

偏度可以反映分布的对称性。根据偏度的定义，样本的偏度为样本的三阶标准矩。同样，偏度可以用三阶原点矩表示：

偏态分布的集中趋势主要由中位数来表示。当单峰分布具有较强的偏态形状时，中位数受分布的偏态影响较小，因此它在描述分布的集中趋势方面具有优势。实际上，当你找到分布的中值时，你可以在分布的任意一边取一个分数然后把它移离中值。只要分数还在中间值的一边，你就可以把它移动到任何你想要的远的位置，中间值也不会改变它原来的位置。但均值就不是这样了，它受分布中的任何分数的影响。

4 基于偏度的噪声水平估计

我们首先对因为添加了高斯噪声而引起的广义高斯分布随机变量的偏度变化进行建模。将其用来表示一个广义高斯随机变量，使得并表示独立的高斯随机变量，均值和方差为零。设一个随机变量，使得：

y=x+η。

我们希望能够计算出y 的偏度Sy。将上述公式代入到图像当中，可知x 代表没有噪声的图像中局部系数的原始分布，η 表示为添加任何噪声，从而形成一个噪声图像y。这样代入到图像当中，我们的x 可以代表噪声污染图像的原始分布。

在本文中，我们将偏度称为方差平方归一化的三个中心矩，可以得到如下公式：

这与多余的偏度不同，后者也包括使高斯分布的偏度为零的-3项。由于噪声的独立性，y 的方差简单为与的和，可以得到如下等式：

将其与峰度对比可知，峰度可以直接求出四阶中心矩的表达式，但是偏度是间接求解。不能直接从三阶矩出发。

尽管以上模型假定高斯白噪声，但仅假定它在滤波器域中是高斯白噪声。由于像素域中的许多类型的独立噪声将在频域中混入高斯噪声，因此该方法可与其他类型的噪声一起使用。在计算基于DCT 的响应图像时，以像素为单位的噪声总和导致由于中心极限定理和噪声独立性而使总和的分布呈高斯分布。

定义y=x+n 表示为源图像x 添加了噪声的结果图像，则y=x+n是带有高斯白噪声的自然图像，n 为高斯白噪声噪声且其均值为零，方差为未知的σ2。其中我们的目标是利用一些关于x 的一般统计知识单独从被噪声污染的图像y 中估计σ2。

我们想指出的是，高斯假设并不像看起来那样严格，特别是当图像从像素域转换为带通滤波域时，例如离散余弦变换（DCT）和小波。这是因为像素域中的非高斯独立噪声在经过带通滤波器线性混合后接近高斯，这是中心极限定理的直接结果。

对于通道的带通滤波域，我们分别表示信道kth中原始图像和噪声图像的偏度为S(x)和S(y)。我们使用的噪声图像y 的信道kth可以表示出方差σ2(y)。等式如下：

如果我们考虑自然图像在带通滤波域的统计规律——它们往往具有超高斯边缘分布[8]，或者等效地可以考虑正偏度值（S(x)>0）。也是正的，因为它是无噪声图像在信道中的方差。因此，我们可以在等式（1）两边开平方根得到：

现在我们利用自然图像在带通滤波区域的偏度分布行为（第3节）。这表明无噪声自然图像x 在带通滤波通道K 的偏度可以近似为一个常数，或S(y)≈S(x)(S=1,...,K)。然后我们形成一个目标函数，使等式（2）两边的差值最小，结果如下：

考虑到这些方差和峰度度量，我们希望估计附加噪声的方差。其最优解提供了噪声方差的估计。

5 总结与展望

本文提出了一种基于偏度拟合的噪声水平估计的方法。通过对比推导得到了噪声与偏度之间的关系式，拟合得到其最优解为所需噪声，其最小值即为所求噪声。为后续图像拼接检测定下了基础。