导数在高中数学解题中的应用探究

【摘 要】高中数学知识较复杂，学生只有充分掌握知识之间的关联性，学会在不同的题目场景中灵活应用知识，才能够提高数学学习效率。导数是高中数学的重要知识，不仅在研究单调性、求解极值的过程中发挥着重要的作用，同时在不等式求解、函数图象绘制等问题中均发挥着重要的作用。本文将针对导数在高中数学解题中的应用进行进一步探讨与研究。

【关键词】高中数学;导数;求解极值;判断单调性

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0142-02

在导数的学习过程中，学生不仅要深刻理解导数的含义，同时更要熟记一些常用函数的导数形式，能够掌握在不同类型题目中如何使用导数进行求解。近年来，导数在高考中所占比例不断提高，如果学生不能够想到应用导数这一关键解题工具，那在解题的过程中很容易出现问题。因此，教师在教学中要帮助学生整理归纳导数在数学解题过程中的应用，通过反复练习帮助学生深刻理解导数的内涵。

1   利用导数研究函数单调性

函数单调性是导数最基本的应用问题之一，通过研究函数的导数能够判断函数在定义域的不同区间内是单调递增还是单调递减，能够帮助学生了解函数值在一个区间内的变化[1]。利用导数研究函数的单调性是一种快捷简便的方法，学生需要掌握常见函数的求导公式，如指数函数、对数函数等。学生熟练掌握求导公式，才能够保证解题的正确性。

例1：已知函数 f（x）=x+ax+3，求该函数的单调区间。

分析：要研究函数的单调区间，首先可以确定采用导数进行研究;其次求导之后得到 f'（x）=3x+a，无法直接确定导数大于0或是小于0，因此需要对a的取值范围进行讨论，之后再进一步确定在不同区间上函数的增减性。

解：原函数的导函数为 f'（x）=3x+a。

这一类题目时常会设置一部分参数以增加函数单调性判断的难度，学生在求解的过程中不仅要注意函数的值域，同时要对参数的每一种情况进行讨论，做到不遗漏。在最后回答问题时，要将上述求解的情况进行综述，同时再一次检查自己是否讨论了所有的情况，确保求导的整个过程没有出现问题。对于常见的三次函数、对数函数以及指数函数等，学生通过反复的练习要学会归纳总结，了解不同的系数会如何影响函数增减性的变化，遇到部分题目可以直接判断出函数大概的图象，与自己的求解结果进行对比，进一步保证解题的正确性。

2   利用导数求解函数极值、最值

在求解函数极值的过程中，研究函数的单调性是第一步，只有在判断出函数增减性的情况下，学生才能够更快地判断函数值在不同区间范围内的变化。学生要注意导数为0的点以及拐点，再与端点值进行比较，即可判断出函数的最值。这一类题目为了增加难度，会设置部分参数，需要学生对不同的情况进行讨论，只要学生掌握基本的解题思路，确保求导过程的正确性，一般可以顺利地解答。部分题目会将条件倒置，给出函数在某个区间的极值或者最值，求解未知数，这类题目考查的知识点依旧是利用导数求解函数的极值或者最值，学生要学会灵活应用导数进行求解[2]。

例2：求解函数为 f'（x）=3x−2x+3在区间[−2，0]内的最值。

分析：此题为利用导数求解最值的典型题目，先对函数进行求导，研究函数在区间内的单调性，判断是否在区间内部有极值点，然后再与端点值进行比较，即可得出函数在该区间内的最值。

解：原函数的导函数为 f'（x）=9x−4x。令 f'（x）=0，得x=0或x=4/9，因此导数在[−2，0]内大于0，函数在该区间内单调递增，在x=−2时函数取得最小值−29，在x=0时函数取得最大值3。

在求解這一类题目时，首先判断题目类型，利用导数进行求解，先研究函数在该区间内的单调性，判断是否存在极值点，再与端点值进行比较，要注意端点是否包括在区间之内。在研究函数单调性以及求解函数极值、最值的过程中，学生已经能够初步画出函数的图象，因此导数对于研究并画出函数的图象也有着重要的作用。学生可以根据单调性以及函数的零点、极值点、最值，周期性、奇偶性等作出函数的大致图象，这种方法相比于传统的描点法更加准确。

3   利用导数求解不等式

证明或者求解不等式的题型，更多考查的是学生的思维能力，需要学生将题目中不等式两侧的式子进行移动变换，通过构造函数进行求导，研究函数的单调性，从而证明与求解不等式。一直以来，不等式的求解与证明都是难点，大多数学生难以根据题中的不等式进行函数构造或者在解题过程中想不到导数求解的方法。因此，教师还需要通过加强练习帮助学生进行归纳总结，培养学生对这类题目的敏感性，使其尝试用导数的方法求解。

例3：已知函数 f（x）=9x+lnx，求证（1，+∞）区间上，函数 g（x）=25x的图象始终位于 f（x）图象的上方。

分析：在求解此类题目的过程中，学生直接想到的办法就是分别研究两个函数的单调性，然后尝试证明 g（x）的值始终比 f（x）的值大，但是这往往不是很好的求解方法。因此，学生遇到这一类题目要尝试联想到不等式，利用两个函数巧妙构造出新函数，通过研究新函数的单调性与最值来解题。g（x）图象位于 f（x）图象上方表明 g（x）> f（x）在区间（1，+∞）上恒成立，因此学生可以尝试通过构造函数 F（x）= g（x）− f（x），只要证明该函数在区间（1，+∞）内大于0恒成立即可。

解：设 F（x）= g（x）− f（x）=25x−9x−lnx，则 F'（x）=75x−18x−1/x，在区间（1，+∞）上75x−18x−1/x大于0恒成立，因此导数在该区间上大于0恒成立，该函数在区间内单调递增，当x=1时函数取得最小值16，因此函数在该区间内大于0恒成立，即 g（x）> f（x）恒成立，题目得证。

通过函数构造，利用导数进行函数的单调性研究能够巧妙地解决此类不等式问题。在求解这一类问题的过程中，学生要注意不同语言的描述方式，解题的本质都是通过构造不等式将两个函数关联起来进行研究。

4   利用导数求解切线问题

利用导数求解切线问题主要考查学生对导数几何意义的理解。导数在几何意义上表示在函数某一点的切线的斜率，这部分内容更多会与椭圆、双曲线等内容相结合。学生需要掌握椭圆、圆等图形在一点的切线方程，这样能够快速设立方程并求解未知数。教师在讲解此类题目的过程中，要帮助学生认识到导数的重要性，以后遇到同类型的题目可以先尝试设立切线方程或者求导。

切线相关的题目有多种类型，较为复杂的一种为过切线上的一点求解切线方程，在解决该类题目的过程中首先需要判断该点是否为切点，之后再通过设切点求解切线方程的方法对题目进行求解。

总之，导数在研究函数单调性、求解极值最值、解决不等式等问题中都发挥着重要的作用。教师在教学中要鼓励学生将同一类型题目进行归纳并提炼出解题思路，让学生在归纳总结的过程中更加深刻地理解导数的内涵，以此提高学生的解题能力，锻炼学生的思维能力。

【参考文献】

[1]李剑.浅谈导数在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化：自主招生，2020（4）.

[2]谯洪斌.导数在高中数学解题中的应用探究[J].新课程研究（上旬），2019（2）.

【作者简介】

刘强（1985～），男，汉族，甘肃陇西人，本科，中学一级教师。研究方向：高中数学。