一种快速发现考试作弊信号的方法

（国家无线电监测中心哈尔滨监测站，黑龙江 哈尔滨 150010）

0 引言

目前，考试作弊信号主要以2FSK、Lora 等数字信号的形式出现，其最大特点是出现时间短、传输信息量大，然而传统无线电监测设备一般是基于奈奎斯特采样定理完成快速扫描等对无线电信号的监测工作，很难满足快速有效捕获在可用频谱上随机出现考试作弊信号的需要。压缩感知理论的信号采样率可以在远低于奈奎斯特采样率的基础上，近似完整还原接收信号，为快速、有效发现作弊信号提供了新的思路。

1 压缩感知理论概述

2004 年，E.Candes 等学者证明了压缩采样（Compressive sampling）理论的正确性，即具备稀疏性的原始信号，可以用压缩采样理论确定采样频率对信号进行快速采样，并且能够通过非线性重构算法近似完整恢复。

1.1 稀疏表示

将原始信号投影到某种变换域进行变换后，若得到大部分为零的向量值，则该信号可以被稀疏表示。如果信号X 可以用一个M×N 阶矩阵表示，其中行向量表示信号采样样本，列向量表示信号样本属性，通常这样的M×N 矩阵是非稀疏矩阵，即存在很多非零元素。需要通过一个K×N 阶的系数矩阵G 和一个M×K 阶的字典矩阵H 相乘，使X=H×G，式中，G 就是一个稀疏矩阵，G 即为X 的稀疏表示。根据不同的信号特征，选取相应的变换基。

假定f（t）为离散时间信号：

式中，信号f 通过标准正交基ψ 变换后；x 为系数，x∈RN，f∈RN；ψ 为N×N 阶矩阵。式（1）也可以写作矩阵形式：

即信号f 通过ψ 变换域后，得到x 系数矩阵，x 即为f 的稀疏表示。

1.2 测量矩阵

测量矩阵φ（φ∈RM×N，M＜＜N）与变换矩阵ψ 相乘得到感知矩阵A，感知矩阵与信号稀疏表示x 相乘即可得到测量值y：

感知矩阵需满足RIP（Restricted Isometry Property）条件，即测量矩阵φ 与ψ 变换基不相关，只需要找到满足条件的测量矩阵φ 即可实现精确恢复原始信号。

x∈∑K={x：PxP0≤K}，即x 为k 阶向量，式（4）得到的最小值为测量矩阵φ 的等距常量，0＜δk＜1，φ满足k 阶约束等距条件。在压缩采样前，不可预见哪些数据会丢失，此时必须选取随机的测量矩阵，而通过压缩采样后，确定已丢失的数据后，此时测量矩阵必须对应压缩采样的结果，即已经可以确定测量矩阵，采样后的测量矩阵不应为随机矩阵。常见的测量矩阵包括：

（1）高斯随机测量矩阵。假设测量矩阵φ 为K×N阶，服从正态分布，且该正态分布的均值为零，方差为1/K。满足RIP 条件，即φ 满足重要分量长度为K，且测量数S 满足式（5），则

根据式（1）、式（4）和式（5），测量数S 至少应满足S=O（K/log（N/K）），则对于任意的ω＞0，精确恢复原始信号的概率为1-O（e-ωN）。

（2）二进制测量矩阵。与构造高斯随机测量矩阵类似，假设测量矩阵φ 为K×N 阶，服从伯努利分布P（φki=±1/K1/2）=1/2，且满RIP 条件，测量数S 满足式（5），则对于任意的ω＞0，精确恢复原始信号的概率为1-O（e-ωN）。这一事实的证明基于亚高斯矩阵最小奇异值的集合，对于满足式（5）的S 稀疏信号精确重建性适用于二进制测量。

（3）傅里叶（Fourier）测量矩阵。通过随机均匀选择K 行，并对列进行重新规范化，使它们具有单位范数，从而得到部分傅里叶测量矩阵φ。若测量数S 满足S≤C·K/（logN）4，则可极大增加恢复原始信号的概率。

1.3 重构算法

压缩感知理论的重要组成部分，快速准确的通过重构算法对稀疏测量信号进行重构，精确恢复出原始信号也是压缩感知理论得以迅速推广的关键因素，也是当前压缩感知理论的热点研究领域。重构算法主要包括两个要素：一是确定信号稀疏表示的系数位置，二是确定系数的值。已经证明满足x=arg min PxP0 s.t.y=Ax 的x 惟一解，即可恢复出原始信号。这属于NP-HARD 难题，只能通过求解l 0范数最小值的近似解或是求解l1范数最小值，并进行最优化处理来解决这个问题。常见的重构算法主要包括：MP（Matching Pursuit）、CoSaMP（Compressive Sampling MP）等。

2 作弊信号重构仿真

考试作弊信号在整个考试时间都是随机出现的，一般在考试时间约2-3个小时内，作弊信号呈现短时并多次出现的特点，因此，作弊信号在时域上属于稀疏信号。作弊信号在可用频谱上也是随机出现的，目前已发现的作弊信号大概涵盖了150 MHz-1.2 GHz 频段，但仅出现于其中较窄的频段，比如：269 MHz-270 MHz，440 MHz-460 MHz 等，因此，作弊信号在频谱上也属于稀疏信号。

下面进行作弊信号仿真重构实验：对于随机离散稀疏信号x，信号长度N=256，假定稀疏度K=12，即只有12个非零值，稀疏矩阵为单位矩阵，测量数M=64，测量矩阵为满足RIP 条件的高斯随机矩阵，重构算法选用压缩感知匹配跟踪算法（CoSaMP）。信号重构结果如图1所示，测量数M 与稀疏度K 的关系如图2所示。

图1中黑线表示恢复信号，从图中可以看出通过压缩感知匹配跟踪算法近似完整的恢复出了原始信号，重构效果良好。从图2中可以看出，大概在M=5K 时，可以完整的恢复出原始信号，虽然看起来测量数比稀疏度大很多，但相比于测量数至少需要2倍信号长度的奈奎斯特采样定理，这个测量数已经很小了，相对缩短了信号恢复时间，提升了效率。

图1 信号重构结果

图2 测量数与稀疏度的关系

3 结束语

基于奈奎斯特采样定理，现有的常规无线电监测设备很难及时有效发现在时域和频域上随机出现的考试作弊信号，而基于压缩感知理论，只需满足一定的条件就能够更快发现随机出现的作弊信号。通过实验，理论上验证了基于压缩感知理论重构考试作弊信号的有效性。