考虑钢筋滑移效应的高压隧洞衬砌配筋计算方法

兰伟钦，肖 明

(1.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北 武汉 430072；2.武汉大学水工岩石力学教育部重点实验室，湖北 武汉 430072)

水工压力隧洞在实际运行中受内水压力的作用，在高水头条件下衬砌内部混凝土的环向拉应力容易超过其抗拉强度导致衬砌产生开裂，为防止高压水渗入衬砌内部锈蚀钢筋，衬砌的配筋应满足限裂设计的要求[1-2]。目前，压力隧洞衬砌的限裂配筋计算一般通过半经验半理论的裂缝宽度公式进行，并通过有规律地试算裂缝宽度直到满足衬砌的限裂标准来确定经济合理的配筋面积。相关研究表明[3]，水工隧洞衬砌结构的钢筋应力是影响裂缝宽度的关键因素之一，要算衬砌裂缝宽度首先需计算钢筋应力，但求解精确的钢筋应力较困难，传统方法只能根据经验公式或等效近似法估算其大小，所得结果与实际值有较大偏差。而以有限元为代表的数值方法因考虑衬砌的边界和材料的本构模型等影响因素，可真实地模拟衬砌在设计工况下钢筋和混凝土的承载特征，通过迭代计算所获得的衬砌钢筋应力和裂缝宽度更符合工程实际[4-5]。当水工压力隧洞的衬砌产生开裂时，钢筋和混凝土在交界面上相对滑动，衬砌的钢筋应力和混凝土的刚度均发生改变[6]。目前，现有的数值计算方法尚未考虑到衬砌开裂后混凝土的损伤和钢筋的滑移效应对钢筋应力的影响。

本文基于损伤有限元，提出一种考虑混凝土损伤和钢筋滑移的水工隧洞衬砌配筋限裂计算方法：采用钢筋混凝土组合力学模式，建立考虑滑移效应的钢筋应力迭代计算方法，并根据水工隧洞衬砌限裂设计原则确定限裂配筋的计算流程。

1 钢筋混凝土衬砌限裂配筋计算方法

本文采用弹塑性损伤有限元[7]模拟高压隧洞衬砌-围岩的联合承载，其中钢筋按弹性材料考虑，围岩和混凝土均按照弹塑性损伤材料考虑。衬砌单元采用钢筋混凝土组合式模型[8]模拟，混凝土单元采用八节点六面等参单元模拟，钢筋单元采用杆单元模拟。

1.1 钢筋-混凝土组合模型的力学模式

为了便于混凝土衬砌不同配筋方案的计算，又不影响有限元整体网格的剖分，本文采用将钢筋模型隐埋在混凝土模型内形成组合模型的方式来模拟钢筋和混凝土的联合作用(如图1)。由于衬砌的受力钢筋模型布置在多个混凝土单元中，可根据钢筋线与混凝土单元表面的交点对钢筋模型进行分段，形成各个组合单元中的隐式钢筋单元，其中钢筋单元的两端点(i,j)位置坐标可通过联立钢筋线的空间曲线方程和混凝土单元的表面方程进行求解[9]。

图1 钢筋在衬砌中的布置形式图

假设钢筋单元只存在沿杆长方向上的轴向刚度，以传递轴向力，其他方向的刚度为0，则组合单元中钢筋在其轴向的刚度为：

Ka=EsAs/L

(1)

式中：Es为钢筋的弹性模量；As为横截面积；L为钢筋单元两端点间的距离；设l、m、n为钢筋轴向在整体坐标系下的方向余弦，则其整体坐标系下的轴向刚度矩阵为：

(2)

因为钢筋单元是隐埋在混凝土单元中的，因此还须将钢筋单元产生的附加刚度迭加到混凝土单元中去。根据有限元的基本理论[7]，可推出钢筋对混凝土的等效附加刚度为：

[Ks]=[N]T[Ka][N]

(3)

式中，[N]为混凝土单元的形函数矩阵：

[N]=[NiNj]T

(4)

式中，Ni和Nj为混凝土单元在第i点和第j点的位移插值矩阵。

将钢筋的等效附加刚度与混凝土单元的刚度叠加即可得到钢筋混凝土组合单元的刚度：

Ke=Kc+Ks

(5)

式中，Kc为混凝土单元的刚度。

组合单元的有限元控制方程为：

Pe=Keuc=(Kc+Ks)uc

(6)

式中：Pe为组合单元的等效结点荷载；uc为组合单元的结点位移。

1.2 考虑滑移效应的钢筋应力迭代计算方法

当内水水头较小时，衬砌不开裂，钢筋和混凝土均处于弹性应力状态，两者协调变形。假设混凝土衬砌在开裂前为各向同性的线弹性材料，此时钢筋单元的应力可按下式计算：

σs=Ka(ui-uj)=Ka(Ni-Nj)uc

(7)

式中：σs为衬砌不开裂时的钢筋应力；ui和uj为钢筋单元两端点的位移。

当内水水头较大时，衬砌承担的内水压力超过其承载极限导致混凝土产生开裂，可采用Mazars根据混凝土拉伸试验拟合的各向同性弹性损伤模型[10]对其进行模拟：

(8)

式中：D为混凝土的损伤系数；At和Bt为试验曲线的拟合常数；εt为混凝土的极限拉伸应变；ε为混凝土衬砌单元的第一主应变。

当衬砌产生损伤开裂时，衬砌混凝土因结构内部微裂隙的累积而变形增大，弹性模量和单元刚度减小，同时衬砌混凝土所承担的荷载减小，钢筋所承担的荷载增大。将混凝土单元的弹性模量或刚度按损伤系数折减，钢筋和混凝土承担的变形荷载按损伤系数分配[11]。若不考虑混凝土开裂，钢筋和混凝土共同承担的变形荷载为：

P=Ps+Pc=(EsAs+EcAc)εc

(9)

式中：Ec为混凝土的弹性模量；Ac为混凝土单元的横截面积；εc为组合单元的应变。

混凝土开裂后钢筋所承担的荷载为：

(10)

将式(9)代入式(10)得到衬砌开裂后的钢筋应力：

(11)

式(11)的计算条件为衬砌组合单元中混凝土产生开裂后钢筋不产生滑移，事实上衬砌开裂时钢筋与混凝土是不协调变形的，两者在交界面上产生相对滑动且衬砌出现宏观裂缝，此时钢筋对混凝土的约束作用减小。本文假定衬砌开裂后组合单元内产生虚裂缝(如图2)，且其大小近似为混凝土单元产生损伤后与钢筋单元在交界面上的位移差值s。将式(11)代入Broms和Lutz提出的裂缝宽度经验公式[12]可计算得到裂缝宽度为：

(12)

式中：A=2dr，d为混凝土的保护层厚度；r为钢筋间距。

图2 虚裂缝在衬砌单元中的分布图

当混凝土产生损伤开裂时，组合单元内钢筋单元与考虑损伤后的混凝土单元的应力差值为Δσs=EsΔε=Ess/L，将其作为钢筋单元应力增量产生的附加荷载反向迭加到钢筋单元的结点上并转化为组合单元的等效结点荷载：

(13)

联立式(6)和式(13)得到组合单元第一次考虑损伤后的有限元控制方程：

(14)

根据修正模型中所有组合单元的刚度和等效结点荷载，合成整体控制方程，再次求解各组合单元的应力应变和损伤系数并进行下一步迭代，重复至相邻两次迭代计算的钢筋应力满足式(15)则认为满足精度要求：

|(σsn-σs(n-1))/σsn|≤α

(15)

迭代精度α取0.01，σsn为混凝土衬砌在设计条件下的钢筋应力，该应力结果考虑了混凝土的损伤以及衬砌开裂后钢筋的滑移效应，将其代入式(12)可求得组合单元的裂缝宽度wn，进一步对衬砌进行限裂配筋计算。

1.3 配筋迭代计算

根据水工隧洞的限裂设计原则[1]，衬砌的配筋设计应使得裂缝宽度不大于设计允许值[w]max。为获得满足限裂要求又经济合理的配筋方案，衬砌配筋可按以下流程计算：①根据结构的强度条件确定初始配筋方案，按线弹性有限元法[4]确定初始配筋量；②利用线弹性有限元法求解衬砌的裂缝宽度并验算，若裂缝宽度超过设计允许值，则增大配筋量使其小于并接近允许值，若裂缝宽度远小于允许值则减小配筋量使其接近允许值，直到满足设定的误差范围β[w]max≤wn≤[w]max，其中β为试算精度，取值接近于1。迭代过程中衬砌的配筋量可按缝宽与最大设计允许值的比值进行调整，即An+1=Anwn/[w]max，经试验一般通过少数几次迭代即可得到满足要求的配筋面积。水工隧洞衬砌的限裂配筋计算具体可按图3所示步骤进行。

2 工程算例

2.1 模型参数介绍

以鲁地拉水电站的1号引水隧洞为例，隧洞埋深约200 m，隧洞的开挖断面为圆形，开挖洞径11 m，施加衬砌后隧洞的过水洞径9.4 m。衬砌的混凝土等级为C25，厚度0.8 m，采用双层对称Ⅱ级钢筋布置，钢筋保护层的厚度为25 mm。模型的初始地应力采用岩体自重产生的应力场。不考虑衬砌所受外水作用，内水压力按面荷载逐步施加在衬砌单元内表面，衬砌运行时内水压力水头为130 m。有限元模型各项材料参数取值见表1。引水洞的三维有限元模型如图4(a)所示，最大水头下衬砌线弹性配筋计算的环形钢筋内外侧面积为17 200 mm2，按Φ28@35的布置方案组合在衬砌单元中(图4(b))，衬砌的允许裂缝宽度假设为0.25 mm。

图3 水工隧洞衬砌的限裂配筋计算流程图

表1 有限元模型材料参数表

图4 三维计算模型图

2.2 结果分析

2.2.1 钢筋混凝土衬砌损伤开裂分析

在引水隧洞充水过程中，随内水压力变化，衬砌混凝土单元的损伤分布见图5。当内水压力较小时，衬砌处于弹性阶段，混凝土单元和钢筋单元共同承担内水荷载，二者协调变形。当内水水头达到40 m左右时，衬砌腰部内侧开始出现损伤开裂破坏，损伤量值由两侧腰部向底部和顶部减小。此后随内水压力继续增大，衬砌内部微裂隙累积，腰部混凝土单元损伤破坏逐渐增大，并逐渐向顶部和底部扩张。当内水水头达到100 m左右时，衬砌的腰部混凝土单元损伤量值都超过0.85，衬砌产生贯穿裂缝。

图5 不同水头下衬砌混凝土损伤破坏分布图

以上分析表明，衬砌在内水作用下的危险区域位于两侧腰部，不同水位下衬砌断面不同角度截面的钢筋应力分布见图6。内水水头较小时钢筋应力的量值较小且分布均匀，衬砌未产生开裂。当内水水头达到40 m时衬砌产生裂缝，环向钢筋腰部的应力较大。当内水压力增大到100 m左右，衬砌断面两侧腰部的钢筋应力增幅变大，其余部位增幅较小，原因是衬砌混凝土产生贯穿裂缝后，混凝土失去承载能力，内水荷载主要转移到钢筋承担，此后随内水继续增加，衬砌开裂处钢筋单元和混凝土单元的相对滑移增大，相对应的环向钢筋应力也逐渐增大。当内水施加到运行水位时，衬砌腰部钢筋的应力值达到156.7 MPa，与其他部位的钢筋应力差值达90 MPa。由此可知，衬砌在产生开裂现象后，钢筋与混凝土之间的粘结作用使钢筋的应力分布极不均匀，混凝土损伤开裂越大，所对应的钢筋应力也越大。线弹性配筋方案在运行水位下的最大钢筋应力只占钢筋抗拉强度设计值的52.23%，说明该配筋方案满足衬砌的强度设计要求，但并未充分利用钢筋的有效承载能力。

断面最大裂缝宽度与内水压力关系见图7。当内水水头较小时衬砌受力状态良好、未产生宏观裂缝，随着隧洞内部水头不断增高，衬砌的最大裂缝宽度不断增大，当内水水头增大到100 m左右时，裂缝宽度的增幅变大。当内水压力施加到运行水位130 m后，最大裂缝宽度达到0.192 mm。引水洞的衬砌结构运行时的最大裂缝宽度占最大裂缝宽度允许值的76.8%，说明衬砌的配筋满足衬砌限裂设计要求，且其安全度有一定富余。

图6 衬砌钢筋应力分布图

图7 衬砌断面最大裂缝宽度统计图

综上，引水隧洞的钢筋混凝土衬砌在内水作用下表现出明显的非线性承载特征，采用考虑滑移的组合式数值模型可有效模拟水工衬砌的损伤开裂行为。

2.2.2 配筋迭代计算

根据最大裂缝宽度与设计允许值的比例调整钢筋配置量，按照1.3节中的配筋流程进行迭代计算。表2为不同配筋方案下裂缝宽度和钢筋应力的对比，结果表明衬砌的配筋迭代计算过程中钢筋量的调整对衬砌混凝土的受力特性产生明显影响。随配筋量的减小，衬砌的最大裂缝宽度和钢筋最大应力增大，衬砌混凝土在内水荷载作用下产生的损伤破坏也不断增大。衬砌第3次迭代计算的钢筋面积为7 840 mm2，最大裂缝宽度为0.246 mm，在设计允许值(0.25 mm)以内，钢筋应力也小于其设计强度(300 MPa)，第4次迭代计算的裂缝宽度(0.278 mm)超过了设计允许值。据此可确定当引水隧洞的内水水头为130 m，围岩为Ⅳ类围岩时衬砌所需的最小配筋面积为7 840 mm2。

表2 钢筋混凝土衬砌非线性配筋迭代计算表

2.2.3 结果验证

为验证上述配筋结果的合理性，采用传统的边值法和公式法[2]进行验算，Ⅳ类围岩且内水水头130 m条件下的结果分别为28 260、1 200 mm2。由于边值法假定衬砌在承受内水压力过程中不出现裂缝，未考虑到衬砌在加载过程中混凝土单元进入塑性和损伤开裂后结构内力的重新分布，导致配筋量计算偏大，与实际不符；公式法假定衬砌开裂运行，但并未考虑衬砌开裂后钢筋在裂缝界面上应力分布不均的特征，故导致钢筋应力和配筋量结果偏小。本文的配筋结果介于边值法和公式法之间，更为合理。

图8为鲁地拉水电站1号引水隧洞正常运行后测定的钢筋应力实测值，实测钢筋最大应力值(134 MPa)略小于本文计算值189.3 MPa，原因是数值分析采用的内水荷载包括水击压力，大于衬砌正常运行工况的内水荷载，且运行工况下实际的配筋设计面积(4 900 mm2)与本文计算结果量值相近。综上，本文的非线性配筋方法是合理的。

图8 鲁地拉水电站1号引水隧洞钢筋应力实测曲线图

3 结 语

本文基于钢筋混凝土非线性有限元，建立考虑钢混凝土损伤和钢筋滑移效应的高压隧洞衬砌限裂配筋计算方法,并应用于鲁地拉水电站引水隧洞，结果表明该方法具有以下优点：

1)该方法能有效反映钢筋与混凝土的联合作用：随配筋迭代计算中配筋量的增大，衬砌混凝土的受力特性得到改善，衬砌最大裂缝宽度、混凝土损伤系数、钢筋最大应力都相应减小。

2)该方法能考虑钢筋与混凝土单元的不协调变形对钢筋应力的影响：衬砌产生开裂后，钢筋与混凝土之间产生滑移导致衬砌的钢筋应力分布极不均匀，混凝土的损伤越大对应的钢筋应力越大。

3)该方法可弥补线弹性有限元法因内力分析和配筋设计原理不匹配而导致配筋量较实际偏大的问题，所得配筋结果更加经济合理，为水工隧洞混凝土衬砌的配筋设计提供参考。