随机波动率和随机利率下离散障碍期权定价

摘 要：本文主要对离散时间情形下的标的资产满足随机波动率和随机利率模型的欧式障碍期权定价进行研究，应用Ito^公式、Fourier反变换，FeynmanKac定理，PDF方程和Girsanov测度变换和数学归纳法，推导出了随机波动率和随机利率模型下欧式离散障碍期权的定价公式。

关键词：障碍期权;Fourier反变换;随机波动率;随机利率

中图分类号：O212.9  文献标识码：A

1 绪论

障碍期权（Barrier Options）是一种具有代表性的奇异期权且是随着国际金融市场结构不断地扩大，为了更加符合当今金融体系的时代特色。金融从业者设计出了奇异期权，它是一类比标准欧式或美式期权盈亏状态更加复杂，但是却更加符合投资者收益的金融衍生产品，大多数奇异期权在场外交易。障碍期权（barrier options）是路径依赖型奇异期权中一种非常热受投资者欢迎的一种期权，期权的终期收益率不仅仅和标的资产到期收益日的价格有关，而且还与标的资产在整个投资时间内能否达到某一特定的关卡或障碍值息息相关。按照合约有效期内标的资产的价格与某一设定好的障碍值大小关系。

障碍期权分为两大类：敲出期权和敲入期权。敲入期权是指当标的资产价格触及规定的障碍值时，合约生效;而敲出期权则是当标的资产价格达到指定的障碍值时，合约失效。目前，国内外学者，在研究随机波动率和随机利率模型下障碍期权的定价问题方面，做出了很多的成果，也取得了很大的成绩。根据在期权有效期内标的资产价格是否大于障碍值。Broadie和Kou[1997]推导出了在标的资产价格满足BS模型下的欧式离散障碍期权价格的近似显示解析公式;Fusai和Recchioni[2007]在Kou研究的基础上进一步研究了离散时间的障碍期权的定价方法;温鲜[2010]，在随机波动率满足hullwhite模型的情况下，运用鞅方法，对欧式下降敲出欧式看涨障碍期权进行了定价;薛广明与邓国和[2018]，在Bates模型下，得到了离散时障碍期权价格的封闭解，并与Merton模型下离散障碍期权的价格进行了对比;杨莹[2019]在CIR随机波动率模型下，推导出CIR模型下障碍期权的定价公式。

2 市场模型与预备知识

2.1 市场模型及假设

假设在资本市场中投资无摩擦、无套利存在，在投资可交易时间[0，T]内可以进行连续的交易，买空，卖空风险资产，在无风险利率下可以进行任意的存款、借款。在本文中设风险中性概率测度为Q，在风险中性概率测度Q下，假设资产价格过程St满足如下随机波动率v和随机利率r模型：

参数θ1，k1，θ2，k2，σv，σr均为非负常数，其分别表示为随机波动率v和随机利率r的长期水平，均值回复速度和波动性方差。其中，（1）W1，Wv，W2，Wr，均为Brownian运动，且d[W1，Wv]t=ρ1dt，d[W2，Wr]t=ρ2dt，W2，Wr独立于W1，Wv。（2）参数满足的稳定性条件为：2θ1σv>1，2θ2σr>1。

此类模型可以更好的捕捉波动率和利率变化的动态特征，从而使远期生效亚式期权的定价更契合复杂多变的金融市场环境。本文将以下降敲出看涨欧式障碍期权为例，研究的下降敲出看涨欧式障碍期权的定价公式，其他类型的欧式障碍期权可类比进行研究。令Xt=lnSt，则由Ito^公式有：

2.2 联合特征函数

引理2.1：设St满足上述随机波动率和随机利率模型，则特征函数φ（t，x，v，r;a，b，c，T）具解析表达式：

expiax+Aτ，a，b，cv+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

其中：

τ=T-t，f1（a）

=ρ1σvia-k1，g1（a）

=12（ia）2-12ia，h1（a）

=[f21（a）-2g1（a）σ2v]12

f2（a）=ρ2σria-k2，g2（a）

=-12a2+12ia-1，h2（a）

=[f22（a）-2g2（a）σ2r]12

q1（a，b）=σ2vib+f1（a）-h1（a）σ2vib+f1（a）+h1（a），q2（a，c）

=σ2ric+f2（a）-h2（a）σ2ric+f2（a）+h2（a）

A（τ，a，b，c）=1σ2v[2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）]

B（τ，a，b，c）=1σ2r[2h2（a）1-q2（a，c）eτh1（a）-f2（a）-h2（a）]

C（τ，a，b，c）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

證明：由半鞅Ito^公式和FeynmanKac定理可知，φ（t，x，v，r;a，b，c，T）=φ（t，x，v，r）满足下列偏微分方程（PDE）：

φt+12（r-v）φx+12（v+r）2φx2+（θ1-k1v）φv+12σ2vv2φv2

+ρ1σvv2φxv+12σ2rr2φr2+ρ2σrr2φxr+（θ2-k2r）φr-rφ=0

φ（T，x，v，r;a，b，c，T）=expaXT+ibVT+icrt

由于該模型具有仿射结构特征，因此偏微分方程（PDE）的解具有指数形式：

expiax+A（τ，a，b，c）v+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

于是将其带入偏微分方程中，得到偏微分方程：

Atv+Btr+Ct+12（r-v）ia+12（v+r）（ia）2+12σvvA2+（θ1-k1v）A+ρ1σvviaA+12σrrB2+（θ2-k2r）B+ρ2σrriaB-r=0

则待定系数A（t）=A（t，a，b，c），B（t）=B（t，a，b，c），C（t）=C（t，a，b，c）分别满足下列常微分方程：

At-12ia+12（ia）2-k1A+12σ2vA2+ρ1σv（ia）A=0

AT，a，b，c=ib

Bt+12ia+12（ia）2-k2B+12σ2vB2+ρ2σr（ia）B-1=0

BT，a，b，c=ic

Ct+θ1A+θ2B=0

CT，a，b，c=0

解方程，方程改写成：

Aτ=12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）

A（0）=ib

对第一式两边在0，τ上同时积分，得：

τ0dA12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）=τ

再根据不定积分的公式设σv>0

dxax2+bx+c=1b2-4acln2ax+bb2-4ac2ax+b+b2-4ac

得：

τ=1h1（a）lnσ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

-1h1（a）lnσ2vA（0）+f1（a）h1（a）σ2vA（0）+f1（a）+h1（a）

σ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

=σ2vb+f1（a）h1（a）σ2vb+f1（a）+h1（a）eτh1（a）

=q1（a，b）eτh1（a）

解得：

A（τ）=1σ2v2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）

同理可得：

B（τ）=1σ2r2h2（a）1-q2（a，c）eτh2（a）-f2（a）-h2（a）

对于Cτ=θ1A+θ2B

C（0）=0解得：

C（τ）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

如果，令a=0，b=0，c=0，则在t时刻到期日为T的无风险零息债券的价格为：

P（t，T）=E[e-Ttrsds]=φ（T，x，v，r;0，0，0，T）

引理2.2：设0

φ（a，b，c）=EPexpTtRsds+∑mk=1iakXtk+∑mk=1ibkVtk∑mk=1ickRtkFt0

=φ（t，a，b，c;x，v，r，t1，t2，t3…，tm）

=exp∑mk=1iakxt+A1vt+B1rt+∑mk=1Ck

其中：

Am=Atm-tm-1，am，bm，cm，

A2=At2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3，

A1=At1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2，

Bm=Btm-tm-1，am，bm，cm，

B2=Bt2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

B1=Bt1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

Cm=Ctm-tm-1，am，bm，cm

C2=Ct2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

C1=Ct1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

证明：（1）当m=1时，设0

（2）当m=2时，设0

（3）假设当m=k时，等式成立，则当m=k+1时，0

即，当m=k+1时，结论仍成立，综上，得证。

3 欧式离散障碍期权定价

利用上面推导出的多维特征函数公式，Girsanov测度变换，数学归纳法和Fourier反变换方法等方法，求出下降敲出看涨欧式离散障碍期权的定价公式。

定理1考虑离散欧式下降敲出看涨期权，假设当m=2时，具有两个离散时间点0

V2DOC=EQeTtrsds（ST-K）+1（St1>L，ST>L）Ft

=EQeTtrsdsST1（St1>L，ST>L）-EQeTtrsdsK1（St1>L，ST>L）

=I1-I2

分别定义两个新的概率测度P1，P2

dP1dPFt=STe-TtrsdsSt，dP2dPFt=e-TtrsdsP（t，T）

计算I1，I2，由Fourier反变换得：

其中：

ψ1a1，a2=EP1e-a1Xt1-a2XT=eTtrsdsStφa1，a2-i;

ψ2a1，a2=EP2e-a1Xt1-a2XT=1P（t，T）φa1，a2

定理2具有n个离散的时间点0

其中：

4 结语

运用Ito^公式、Fourier反变换，FeynmanKac定理，PDF方程和Girsanov测度变换等一些随机分析技术和数学归纳法，求出随机利率和随机波动率模型下欧式离散障碍期权的定价公式。该方法主要是将复杂的求解期权定价公式简单化，因此可以应用到该模型下的其他奇异期权定价过程中。

参考文献：

[1]薛广明，邓国和.基于Bates模型的欧式离散障碍期权定价[J].华中师范大学学报（自然科学版），2018，52（02）：164171.

[2]温鲜，邓国和，霍海峰.HullWhite随机波动率模型的欧式障碍期权[J].广西师范大学学报（自然科学）.

[3]杨莹.基于CIR随机波动率模型的障碍期权定价[D].哈尔滨师范大学，2019.

[4]倪曼.双因素随机波动率跳扩散模型的障碍期权定价[D].广西师范大学，2019.

[5]薛广明，邓国和.带跳随机利率与波动率模型的远期生效期权定价[J].数学杂志，2019，39（03）：414430.

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[7]Black，F.& Scholes，M.（1973），‘Valuation of options and corporate liabilities，Journal of Political Economy 1973，81（3）：637654.

[8]Merton R C.Theory of Rational Option Pricing[J].The Bell Journal of Economics and Management Science，1973，4（1）：141183.

[9]Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976，3：125144.

[10]Duffie D，Kan R，Singeton K.Transform analysis and asset pricing for affine jumpdiffusion.

[11]李建輝.随机波动率下的障碍期权定价[J].价值工程，2016，35（07）：4547.

[12]杨莹.基于CIR随机波动率模型的障碍期权定价[D].哈尔滨师范大学，2019.

[13]张宁.双HESTON跳扩散混合模型的重置期权定价[D].广西师范大学，2019.

作者简介：郭培青（1995— ），男，汉族，安徽蚌埠人，硕士，学生，研究方向：金融工具与金融数学。