三台基础的动力特性分析

李子琪, 石志飞

(北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044)

古建筑是人类智慧的结晶和文明进步的重要标志，在人类发展的历史长河中具有重要的价值。中国古建筑式样丰富，其中的一系列先进制造工法丰富了人类文明的建筑宝库。

对古建筑思想精髓和科学内涵的研究得到越来越多的关注。曹峰等[1]研究了环境温度、孔隙率、孔径和初始含水率四个因素对北京明长城青砖毛细吸水性的影响，指出前三者影响较大，且具有正相关性。李皓[2]提出了一种基于拉普拉斯滤波算法的古建筑结构振动位移测量方法，提高了测量结果的精度。王谦等[3]采用数值模拟和现场实测的方法，研究了盾构近距离侧穿二七纪念塔时控制地表沉降的技术。周乾等[4-5]分析了太和殿的动力特性以及基座对动力特性的影响。然而，现有关于古建筑的研究，大多工作主要关注于上部结构，很少关注古建筑基础的动力特性及其对上部结构的影响。而实际上，中国古建筑之所以能历久弥新，其坚实的地基基础可谓功不可没。已有研究表明，建筑基础的动力特性对上部结构的响应有着显著的影响[6-8]。

故宫中的三大殿坐落在白石包砌成的三层高台上(简称“三台”)，三台下面的基础通常被称为三台基础。白丽娟[9]根据多年的研究指出，三台基础是由黄黏土层-碎砖层-黄黏土层-卵石层-黄黏土层-碎砖层-黄黏土层-卵石层……交替夯筑而成。文献[10]给出了三台基础的局部剖面图和实测图，如图1所示。由图1(a)可以看出，1～5号层为地面构造层，5～7号层即为本文分析的三台基础层。

从图1可以看出，三台基础为层状结构，并具有明显的周期性排布特征，目前尚无关于三台基础动力特性的研究成果。为此，基于周期结构理论，建立由四层材料构成的典型单元作为三台基础的分析模型，研究三台基础的动力特性，进而揭示相关参数对该类基础动力特性的影响规律。

图1 三台基础[10]Fig.1 The foundation of three platforms[10]

1 三台基础的工况

位于故宫外朝中路的太和殿、中和殿和保和殿坐落在白石包砌成的三台上。三台直接坐落在基础上，该基础通常被称为三台基础，如图2所示。

图2 故宫三大殿平面图Fig.2 Plan of the 3 main palaces in the Forbidden City

三台上曾进行过钻孔施工，以便探明三台基础的构造。白丽娟[10]指出，钻孔深度在8.5 m以下有卵石与黏土混在一起，同时也发现了地下水。由此可知，三台基础已经位于地下水位以下，各层材料均处于水饱和状态。因此，研究中将采用饱和土模型。

周乾等[4]对三台各层高度做了详细记录。由上至下各层的高度依次为2.59、1.88、3.66 m，三台总高度为8.13 m；同时，三台埋入地下的总厚度为0.86 m。三台之上又坐落着三大殿，这些均在三台基础中产生了初压应力。因此，研究中也需要考虑初压应力。

综上分析，三台基础既处于水饱和状态，又受上部宫殿和三台共同产生的初压应力作用。考虑到三台基础具有明显的周期布置特性，在计及初压应力情况下，建立如图3所示的典型单元来研究三台基础的动力特性。该典型单元含四层材料，是对传统二层层状周期单元的推广[11]。各层厚度由上至下依次为10、14、4.5、13.5 cm，并可得单元的周期常数a=42 cm。

图3 典型单元示意图Fig.3 Schematic diagram of typical element

2 三台基础的材料参数

为了研究三台基础的动力特性，除需知道其几何信息外，还必须知道典型单元各组分的材料参数。下面通过相关文献，并利用复合材料理论，首先求得其材料参数。

2.1 碎砖和黏土

翟福宁[8]总结了碎砖和黏土的各项参数，如表1所示。

(1) 采用壁面通气的气液两相冲压发动机内存在明显的气液分层现象, 气体不能与液体充分混合， 成为限制其性能提升的重要原因.

表1 饱和碎砖和饱和黏土的参数Table 1 The parameters of both saturated brick and saturated clay

2.2 卵石土

卵石土的材料参数与卵石在基体土中的百分含量有密切关系。在三台基础中，基体土是一样的，故按照卵石百分含量的不同确定卵石土的各材料参数。

2.2.1 弹性模量

马辉等[12]基于均匀应变假设，给出了卵石土等效弹性模量的计算公式，并通过数值试验验证了其有效性，现拟用该公式确定卵石土的弹性模量。绝大多数卵石为椭球形[13]，对单位边长的卵石土典型单元，设其包含一长、短半轴分别为a和b的卵石椭球，则卵石土等效弹性模量E的表达式为

(1)

2.2.2 密度

对卵石百分含量为f的卵石土，设基体土密度为ρ1，卵石密度为ρ2，则卵石土的密度ρ为

ρ=ρ1(1-f)+ρ2f

(2)

2.2.3 泊松比

(3)

(4)

(5)

在下面的分析中，卵石土的泊松比取其上下边界值的平均值，即

(6)

式中：K1和K2分别为基体1和基体2的体积模量；G1和G2分别为基体1和基体2的剪切模量。

结合文献[10-19]，给出了不同卵石百分含量下卵石土的有关等效材料参数，如表2所示。

表2 饱和卵石土参数Table 2 The parameters of saturated gravel

3 三台基础的初压应力

三台基础的初压应力由三部分组成：基础自身质量、三台质量和三台上部结构的质量，其中后两部分为主要部分，本文分析中将忽略基础自重的贡献。

3.1 三台部分

3.2 上部结构

三大殿坐落在台基上，台基坐落在三台上，这些结构均会引起三台基础产生初压应力。有资料[4]显示，古建筑木结构密度为420 kg/m3，台基砌体的容重为20 kN/m3。上部结构的其他参数如表3所示[4,8,20-22]。

表3 三大殿几何参数Table 3 Geometric parameter of the 3 main palaces

Yin等[23]研究了沈阳清代宫室木框架体积的近似计算方法，并给出回归公式，即

(7)

式(7)中：V代表建筑结构总体积；n表示建筑物数目；Si表示每个建筑的占地面积。

利用式(8)和表3相关数据，不难求得上部结构和台基的总体积，进而求得总重力为

G结+台=897.6×420×9.8/1 000+4 257.21×20=

88 838.72 kN

(8)

通过上述分析，得到了三台基础的几何参数、材料参数和初压应力，建立了典型单元模型，在此基础上，下面即可求解三台基础的衰减域并分析相关因素对衰减域的影响。

4 三台基础的衰减域及影响因素分析

4.1 模型正确性验证

三台基础处于水饱和状态，并且受初压应力作用，利用有限元软件Comsol Multiphysics 5.3求解衰减域。取卵石土百分含量为60%，通过退化的方法，验证本文所建分析模型及计算方法的正确性。基于单相介质假设，取典型单元周期常数为0.75 m，碎砖层厚度为0.25 m，王萌薇[7]求解了如图4(a)所示传统碎砖黏土基础的衰减域。针对如图4(b)所示本文中建立的包含四组分饱和介质模型，先验证该模型和计算方法的合理性。

图4 碎砖黏土模型Fig.4 The brick and clay model

首先将本文计算模型的典型单元周期常数取为0.75 m；层#1和层#2总厚度取为0.25 m，材料均取为碎砖；层#3和层#4总厚度取为0.5 m，材料均取为黏土。其次，将初压应力值和孔隙率均取为零，这样就将本文所建模型图4(b)退化为王萌薇所选取的单相土中的典型单元图4(a)。采用有限元法，给出了基于本文所建模型计算得到的频散曲线，如图5所示。图5中同时给出了文献[7]计算所得结果。不难看出，两者基本一致。

图5 单相土假设下基于不同模型所得频散曲线Fig.5 The dispersion curves based on different models and single-phase soil assumption

在下面的分析中，只需将材料取为饱和介质的相关参数，将初压应力值取为三台基础实际的初压应力值，即可求出三台基础的衰减域。

4.2 卵石含量对衰减域的影响

三台基础中碎砖和黏土的材料参数如表1所示。目前，尚无资料给出三台基础卵石土层中卵石的百分含量，因此，基于本文所建模型并采用表2所给参数，给出了不同卵石含量f对三台基础第一衰减域上边界频率(upper bound frequency，UBF)、下边界频率(lower bound frequency，LBF)和衰减域宽度(width of attenuation zone，WAZ)的影响，如图6所示。

图6 卵石百分含量对第一衰减域的影响Fig.6 The influence of the percent of pebble on the first attenuation zone of the foundation of the three platforms

从图6中可以看出，衰减域受卵石百分含量影响并不大，随卵石百分含量增加，衰减域宽度稍变窄。在通常的分析中，可将卵石土的百分含量取为80%，其对应的第一衰减域宽度为154.17～175.38 Hz。

4.3 初压应力对衰减域的影响

初压应力对周期结构的衰减域会产生影响[24]。为考虑初压应力对衰减域的影响，在此引入初压应力因子η=|σ0/Gs|，其中σ0为初压应力的大小，Gs为黏土的剪切模量。对本文所建三台基础典型单元，给出了三台基础衰减域随初压应力因子的变化规律，如图7所示。

图7 衰减域随初压应力因子的变化Fig.7 Attenuation zone changing with the initial stress factor

从图7中不难看出，随初压应力增大，第一衰减域起始频率和截止频率均显著变低，衰减域宽度仅稍变窄。也就是说，增大初压应力值，对中低频段振动的隔离是有利的。

5 三台基础的频响分析

图8 模型顶部频响曲线Fig.8 Frequency response at the top of the model

6 结论

(1)三台基础的动力特性可通过分析本文建立的由四层材料组成的典型单元得到，计算发现，三台基础存在频率衰减域，第一衰减域大致位于154.17～175.38 Hz。

(2)参数分析发现，随卵石百分含量增加，衰减域宽度稍变窄，但衰减域受卵石百分含量影响并不大；随着初压应力值的增大，单元的衰减域向低频移动，增大初压应力值有利于在中低频段形成衰减域。