基于MATLAB的数字信号处理实验平台

朱御康

（安徽大学 互联网学院，安徽 合肥 230000）

0 引 言

数字信号相比于模拟信号有着传输速率快、抗干扰能力高以及保密性强等诸多优点，早在第二代手机技术通信中就得到了应用。数字信号处理作为通信中信号分析处理的基础，有着举足轻重的作用。在数字信号处理课程中，IIR滤波器及FIR滤波器的设计是数字信号处理课程的一个综合应用。学生在动手设计滤波器时，不仅会复习到诸如信号的幅频响应与相频响应、离散系统的系统函数、系统的频率响应以及系统零极点分布对系统频率特性的影响等相关知识，同时也会增强学生的实践动手能力。

本文借助MATLAB GUI平台，开发了一款基于MATLAB的数字信号处理实验平台。该平台通过IIR及FIR各类型滤波器算法的实现，致力于将数字信号处理课程中抽象烦琐的理论知识具象化和形象化，以加深学生对于数字信号处理课程的理解[1-3]。

1 系统设计流程

本实验平台共有9个显示框、9个主要功能按键以及1个用来加入高斯白噪声的滑动拖条。其中9个功能按键及滑动拖条都需要编写其回调函数实现其功能。

实验平台主要包含信号输入、信号加噪以及信号滤波3个主要功能，系统流程如图1所示，系统主界面如图2所示。

图1 系统流程图

图2 系统主界面

1.1 信号输入

本实验平台输入的信号采用正弦信号，点击输入信号按钮，会弹出对话框，在框中可以输入正弦信号的幅值及频率。信号输入后，系统左上方第一幅图将会显示原信号的时域波形，右侧则会显示出该信号的幅度谱及相位谱。需要注意的是，本实验在编写时采样频率为1 000 Hz，故选取的正弦信号频率不应超出500 Hz过多，否则会导致频谱混叠严重。

1.2 信号加噪

本实验平台叠加的噪声选用高斯白噪声，用户可通过拖动拉条来调节噪声幅度。在选定噪声幅度之后，系统会计算出加噪信号的信噪比并显示，同时在右侧显示出加噪信号的幅度谱及相位谱。

1.3 信号滤波

数字滤波器从实现的网络结构或者从单位冲激响应分类，可以分成无限长单位冲激响应（Infinite Impulse Response，IIR）滤波器和有限长单位冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器[4]。本实验平台分别设计了这两种类型的滤波器，每种类型又分为低通、带通、带阻以及高通。用户通过点击按钮，输入滤波器的通带截至频率和阻带截至频率，系统会自动设计出满足要求的滤波器。滤波完成之后，系统会显示滤波过后的幅度谱和相位谱，并计算出滤波过后的信噪比。用户可以通过观察幅度谱和信噪比来检验滤波器的滤波性能。

2 滤波算法介绍

2.1 IIR滤波算法介绍

2.1.1 算法特性

IIR滤波器与FIR滤波器相比，在相同的设计指标要求下，IIR滤波器的阶数要低很多，设计成本相较于FIR滤波器要低[5]。IIR滤波器的系统函数为：

其系统函数决定了滤波器中存在有输出到输入的反馈，为一个递归结构。

2.1.2 算法理论与流程

IIR滤波器的设计方法有直接法与间接法，直接法主要基于模拟滤波器的设计，通过设计得到模拟滤波器的系统函数Ha(s)，将Ha(s)通过冲激响应不变法或者是双线性变换法来转换成数字滤波器的系统函数H(z)。IIR滤波器的设计方法如图3所示，下面介绍通过间接法设计IIR滤波器的流程[6]。

图3 IIR滤波器的设计方法

以巴特沃斯低通滤波器为例，其幅度平方函数为：

将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数，求出极点sk，可表示为：

式中，k的取值从0到2N-1，表明其有2N个极点。则其对应的Ha(s)有N个极点，且每个极点存在一个共轭极点，由此可以得出：

到此只需根据技术指标求出系统阶数N便可得到Ha(p)，再经过去归一化便可得到Ha(s)，最后通过双线性变换法便可得到成数字滤波器的系统函数H(z)。

在本实验平台的IIR滤波器设计中，采用了切比雪夫二型的滤波器。以低通为例，使用cheb2ord函数，输入参数为通带截止频率、阻带截止频率、通带波纹、阻带最小衰减，得到滤波器阶数n及3 dB截至频率Omgn。通过che2ap函数，求切比雪夫二型模拟滤波器原型系统函数，返回零、极点和增益的形式。之后通过lp2lp函数将原型系统函数去归一化，最后通过bilinear函数，即通过双线性变换法将模拟低通滤波器的系统函数转化为数字低通滤波器的系统函数。

2.2 FIR滤波算法介绍

2.2.1 算法特性

FIR滤波器相较于IIR可以做到严格的线性相位，其系统函数的一般表达形式为：

由于其系统函数没有极点，决定了其没有从输出到输入的反馈。但是，要取得良好的衰减特性，FIR滤波器系统函数的阶次要比IIR滤波器高[7]。

2.2.2 算法理论与流程

以窗函数设计法设计数字低通滤波器为例，一般流程为根据技术指标得到滤波器系统函数Hd(ejω)，经IDTFT得到其对应的单位冲激响应hd(n)，选择对应窗函数进行截断，再通过z变换得到H(z)。加窗截断后的滤波器是物理可实现的，但是其在滤波性能上相较于理想低通滤波器存在一些差异。

理想低通滤波器不存在过渡带，而加窗之后在ω=ωc的频率点附近出现过渡带，且其带宽与窗函数的主瓣宽度呈正相关。在ω=ωc±2π/N频率点附近出现肩峰值，两侧形成起伏震荡，震荡幅度和旁瓣的幅度和数量有关。为提高滤波器的性能，有窗函数的主瓣要求尽可能的窄，旁瓣幅度尽可能的小。在本实验平台的FIR滤波器设计中采用汉宁窗作为窗函数[8]。

通过过渡带带宽求出滤波器阶数，之后通过阶数得到汉宁窗的窗函数，加窗截断后得到滤波器的单位冲激响应后，将加噪信号与滤波器的单位冲激响应进行卷积，即频域相乘，完成滤波处理[8]。

3 信号处理结果与分析

3.1 FIR滤波分析

以FIR低通滤波器为例进行滤波处理，原始信号选择频率为5 Hz，幅度为10 mV的正弦信号，噪声信号为高斯白噪声，选取通带截止频率为10 Hz，阻带截止频率为30 Hz。信号时域波形如图4所示，幅度谱如图5所示，相位谱如图6所示。

图4 信号时域波形

图5 信号幅度谱

图6 信号相位谱

下面进行通过FIR低通滤波进行滤波处理，滤波过后信号的时域波形，幅度谱及相位谱如图7和图8所示。

图7 滤波信号时域波形

图8 滤波信号幅度谱与相位谱

滤波之前的信噪比如图9所示，约为7.967 2 dB，经FIR低通滤波过后所得的信号信噪比如图10所示，提升到22.365 3 dB，信噪比大幅提升。

图9 滤波之前信噪比

图10 经FIR低通滤波过后的信噪比

3.2 IIR滤波分析

在IIR滤波器实验中，选用同样的正弦信号，给定通带截至频率为100 Hz，阻带截至频率为200 Hz。IIR滤波过后的时域波形如图11所示，幅度谱及相位谱如图12所示。

图11 滤波信号时域波形

图12 滤波信号幅度谱与相位谱

经滤波处理后，信噪比由7.967 2 dB上升到图13所示的13.080 4 dB。由于通带截至频率选取为100 Hz，阻带截至频率选取为200 Hz，有较多噪声信号未被滤除，不够显著，进一步说明在设计滤波器时，截至频率的选择至关重要[9,10]。

图13 滤波信噪比

4 结 论

本文介绍了IIR及FIR滤波器各自的特点及设计流程，通过设计基于MATLAB的数字信号实验平台，实现了信号产生、叠加噪声、信号滤波以及频谱分析，并计算了其信噪比，深入探讨了IIR及FIR滤波器之间的差别。通过本实验平台，可了解到各种类型的滤波器，对课堂知识灵活应用并加以巩固，便于后续更复杂的信号处理相关内容学习。