无线传感器网络波束形成优化方法

夏彦泽

（中国电子科技集团公司第二十研究所，陕西 西安 710072）

0 引 言

无线传感器网络（wireless Sensor Networks，WSN）是由一组随机分布，集传感器、数据处理单元以及通信模块于一体的微型传感器以自组织方式构成的无线网络。由于其具有节点廉价、易于布置且工作隐蔽等特点，因此受到各军事研究部门的高度重视。美国国防高级研究计划局主导的Network Embed and System Technology项目采用多个廉价音频传感器节点协同定位敌方狙击手，定位精度可达1.5 m，定位延迟低至2 s。因为无线通信所消耗的能量随着距离的增加而急剧增加，且战场用无线传感器节点体积微小，电池电能有限，所以在WSN网络设计过程中需要重点考虑如何提高能量使用效率，延长节点生命周期[1]。本文以常用的声传感器网络为例，研究了目标探测中优化波束形成阵列的方法。

1 无线传感器网络波束形成器解算

空间中的无线声传感器网络是由M个麦克风传感器组成的麦克风阵列。在战场环境中为了检测特定方向的声源信号，会根据阵列参数和估计的信号参数使用波束形成算法生成相应的阵元加权系数。常用的波束形成算法有MVDR、Wiener及LCMV等，其中MVDR波束形成器能够在最小化输出噪声能量的同时保证阵列在期望方向上无失真，有利于后期信号处理。文中以MVDR波束形成器为例，理想情况下，麦克风传感器接收到的信号由两个部分组成，一部分为声源信号与声传播响应函数的卷积，另一部分为噪声信号。两者叠加后形成麦克风输出信号（也称观测信号），其数学表达式为：

式中：s(t)是声传输函数；xk(t)是麦克风k接收到的声源信号；nk(t)是麦克风k接收到的噪声，包括干扰信号和背景噪声；k代表阵元编号。工程实践中，为了减小计算量会在频域内计算分析阵列信号，对麦克风接收信号进行短时傅里叶变换，表达式为：

式中，Yk(ω,l)、Xk(ω,l)、Ak(ω)、S(ω,l)以及 Nk(ω,l)分别是信号yk(t)、xk(t)、ak(t)、s(t)以及nk(t)的短时傅里叶变换，ω为频率，l为时间帧序号。将上面的信号模型写成向量形式为：

式中，y=[Y1(ω,l),Y2(ω,l),…,YM(ω,l)]T为麦克风阵列观测信号向量，a=[a1(ω), a2(ω),…, aM(ω)]T为声源到麦克风阵列的传输矢量，x=[X1(ω,l), X2(ω,l),…, XM(ω,l)]T和 n=[N1(ω,l), N2(ω,l),…, NM(ω,l)]T分别表示麦克风接收到的声源信号和噪声信号向量。

实际应用中，信号和噪声一般是不相关的，此时麦克风接收信号的协方差矩阵可以表示为：

式中：E{·}代表期望运算；Ryy=E{xxH}=E{aS(aS)H}=aE{ssH}aH=PsaaH表示麦克风接收到的声源信号的协方差矩阵，其中Ps为声源信号的功率谱；Rnn=E{nnH}是麦克风接收到的噪声信号的协方差矩阵。

信号经过MVDR波束形成器之后的输出为：

式中，w是用MVDR波束形成器方法求得的滤波器系数。MVDR波束形成器可以在最小化输出噪声能量的同时保证阵列在期望方向上无失真，数学表达为：

约束条件为wHa=1，这是个最优解的问题，在最优线性无偏估计下使用采用拉格朗日乘子法，求解得到：

2 最小功耗子阵选择模型及解算

将无线声传感器网络中所有节点作为阵列信号接收的阵元会取得最好的空域滤波效果，但此时的功耗最大。实际情况中，无线传感器网络中存在很多提供冗余信息的节点，通过建立模型，评价不同阵元对阵列信号处理的效能，根据一定的门限去除低效能阵元，从而选取出一个滤波效果相当的子阵列，达到降低功耗，延长无线声传感器网络工作时长的目的。引入一个传感器选择向量p=[p1p2…pM]T，其中pi∈{0,1}，pi=1代表i号阵元被选择。为所选传感器的数目。引入传感器选择矩阵Φp={diag(p)}，去掉所有全0行，Φp∈{0,1}K×M。传感器选择矩阵满足：

由此，被选择传感器组成的子阵接收信号模型可以表示为：

同理可证，基于传感器选择向量p的子阵的MVDR波束形成器表达式为：

式中，ap=Φpa，R(nn,p)=ΦpRnnΦpT。

定义数据传输的代价函数，令c=[c1c2…cM]T∈'M表示从传感器到数据汇聚节点的传输功耗。ci=c(di)+ci(0)，di是i号传感器到数据汇聚节点的距离，c(di)表示随距离变化的功耗代价函数，ci(0)是传感器的自身功耗常量。传感器选择问题可以用数学表达为：

式中，||·||1表示l1范数，β为波束形成后的最小输出噪声功率，α是用来控制输出噪声功率的自适应因子，α∈(0,1]。这里β不依赖于整个网络的测量，只是一个数值，可以由用户指定。选择有前面子阵的MVDR信号模型，被选择的子阵传感器的输出噪声功率为：

需满足条件wpHap=1。同理可以得到波束形成器输出的期望信号功率，被选中的子传感器阵的输出信噪比为：

从而本文的阵列选择优化问题可以改写成：

此处证明了β=Ps/SNR是波束形成后的最小输出噪声功率，这里的SNR是给定的最大输出信噪比。综上，传感器选择问题可以转化为一个基于布尔向量p的非凸优化问题。

通过矩阵分解来进一步优化问题，引入噪声的协方差矩阵分解为：

式中，λ是一个小于Rnn最小特征值的正常数，G是一个正定矩阵。选择这样的矩阵分解可以构造正定矩阵 G-1+λ-1diag(p)，从而：

定义矩阵 Q=Φp(λIM+ΦpGΦpT)-1Φp

T，求逆引理可得 Q=G-1-G-1[G-1+λ-1diag(p)]-1G-1，从而公式（13）的约 束条 件为 aHG-1a-α/β ≥ aHG-1[G-1+λ-1diag(p)]-1G-1a，利用schur补的定义，该式可以写成对称形式的线性矩阵不等式：

从而，本文的优化问题可以改写为：

这是松弛凸优化里的半正定规划问题，可以在多项式时间内使用内点法或解算器来有效求解，例如CVX和SeDuMi[2-4]。求解上面表达式的算法复杂，其中二进制选择变量pi∈{0,1}可以通过解的随机舍入得到[5]。

3 贪婪算法在子阵选择中的应用

在前面的传感器选择模型中，使用了全网络的数据统计信息。为了降低功耗，实际情况中不希望预先估计整个网络的统计信息，需要一种不依赖于完整网络的统计量和传感器到数据汇聚节点距离信息的传感器选择机制，根据可以访问的邻近传感器的测量值（接近数据汇聚节点或已经选择的传感器节点）使用贪婪算法选择传感器节点。

令ri表示第i号传感器的三维坐标，S1为候选传感器集，S2为选中的传感器集，本文提出的贪婪传感器选择算法如图1所示。

给定数据汇聚节点位置z0和一个有效传输半径R0，S1和S2的初始值见图1。先估计噪声协方差矩阵R(nn,S1)，然后按照公式（14）进行矩阵分解，再求解优化问题（17），优化后问题可以重新阐述为：

式中，βS1代表采用候选传感器集S1计算的经典MVDR波束形成器的输出噪声功率，α是给定的自适应因子。

如果α≤1在S1上有可行解，这个可行解集可以用来确定一个新的S2，且|S2|≤|S1|。然后基于这个新的S2重新设定一个由R0最近原则组成的候选集S1，具体见图1。这样持续迭代，直到S1或者S2不再变化。因为初始候选集一定小于等于全部网络传感器集，所以基于候选传感器集S1计算的本地约束βS1≤β，而α是不变的，βS1/α≤β/α。为了使本文提出的贪婪算法的性能收敛到完整网络算法，在上述迭代结束后把本地约束βS1替换成全局约束β，再重新迭代一遍。

4 仿真实验及结果

将169个候选传感器均匀放置在12×12的二维空间中，声源位于（9.6，9.6）处，数据汇聚节点位于（3，3）处，两个干扰源分别位于（2.4，9.6）和（9.6，2.4）处。波束形成采用频域方法，短时傅里叶变换采用汉明窗截断。单个传感器的背景噪声选用信噪比为10 dB的不相干高斯白噪声，假定单个阵元自身的能耗为ci(0)=0，传输能量代价函数与距离平方成正比[6]。实验结果如图2所示。

图2 实验结果

图2（a）和（b）圆形符号是贪婪算法使用本地约束和全局约束结合得到的实验结果，而三角符号是贪婪算法只使用全局约束的结果。可以看出传感器候选集S1中阵元的数目随迭代次数的变化而变化。只使用全局约束算法的收敛速度要快一些，但最终选取的阵元数目明显较多。结合本地约束和全局约束不但能保证输出性能不变，还能明显减少最终选取的阵元数量。图2（c）给出了自适应因子α=0.65时最终选取的子阵位置分布图。图2（d）给出了自适应因子α=0.9时最终选取的子阵位置分布图。从这两个子图可以看出在α较小的情况下，为了减少传输能耗，算法最终会选择数据汇聚节点且朝向声源位置的阵元。随着α的增大更多地靠近和朝向声源位置的阵元会被选择，同时干扰源附近也会有部分阵元被选中。图2（e）给出了自适应因子α=0.9时，不加干扰源的情况下最终选取的子阵位置分布图。图2（d）和（e）选取的阵元大部分相同，只是不加干扰源的情况下最终选择的阵元都聚拢于数据汇聚节点和声源。

5 结 论

通过研究基于MVDR波束形成器降噪的无线声传感器子阵选择问题，给出了以降低传感器网络整体功耗为目标的子阵选择方法，且结合工程实践要求给出了使用贪婪算法进行阵元选择的方案。通过仿真实验评估了算法功能和性能，结果表明文中方法能够大幅降低无线传感器网络的整体功耗，延长其工作时间。