解三角形中的“圆”问题

广东省佛山市罗定邦中学 龙 宇 528300

在解三角形问题中，常常隐含了很多“圆”的信息，除了常见的外接圆外，还有阿波罗尼斯圆以及米勒圆等等.笔者对这些“圆”问题进行了梳理，以飨读者.

1 三角形的外接圆

1.1 如何构造外接圆

在初中阶段，我们便熟悉定理：在圆中，直径所对的圆周角为直角.逆向运用该定理，可发现在直角三角形中，当斜边长固定时，斜边所对的顶点的轨迹为一个圆（去掉两个点）.推广该定理，在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，若边a及角A为定值，则点A的轨迹为一段圆弧，特别地，当A=90∘时，对应的轨迹为圆（去掉两个端点）.

图1

当A为锐角时，则对应的轨迹为劣弧BC，特别地，当A=90∘时，对应的轨迹为圆（去掉两个端点）.

1.2 利用外接圆解题举例

图2

在本题中出现了明显的定角与定边，所以容易联想到外接圆.而有些解三角形问题中却没有明确地给出相应的条件，需要答题者结合平面几何的相关知识转化条件才能发现外接圆，具体如下例：

例2（2020届广东省文科数学模拟试题（一）11）在△ABC中，已知A=60∘，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为（）.

分析：在本题所涉及到的△ABC中，已知一个角以及该角对边上的三等分线.除了类比极化恒等式的解法外，能否通过轨迹的思想进行求解呢？

解析：如图3，过点B作AC的平行线与AD的延长线交于点E.可得∠ABE=120∘，结合三角形相似可得DE=2AD=4.

图3

2 阿波罗尼斯圆

图4

3 米勒圆

3.1 米勒问题以及米勒圆简介

米勒问题：早在1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？

历史上的米勒问题所涉及的范围是三维空间，本文仅讨论二维平面内的情况，简化后的米勒问题如下：

问题一：如图5，在平面坐标系中，点A,B的坐标为(0，a)，(0,b)，其中b＞a＞0.在横坐标轴上求得一点P，使得∠APB取到最大值.

图5

问题二：如图6，设OA与OP的夹角为θ，OA=a,OB=b，在OP上求得一点P，使得∠APB取到最大值.

图6

猜想：仿照上问，当OP=ab时，∠APB取到最大值.

证明：根据圆的切割线定理，若OP2=OA·OB.过点A,B,P的圆与射线OP相切.据此作出过这三点的辅助圆.如图7，在OP上除点P外的任意一点P′，连接AP′,BP′.∵点P是切点，∴AP′与圆相交于点P″，连接BP″，根据圆周角定理∠APB=∠AP″B.而∠AP″B＞∠AP′B.∴点P是使得∠APB取到最大值的点.该夹角的具体值，可利用余弦定理求得，但表述较为复杂，本文不再介绍.

图7

在问题二中涉及到的辅助圆被称之为米勒圆，即为帮助我们求得最优解的辅助圆.3.2利用米勒圆解题举例

例4已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=2.若b2-c2=8，当角A取到最大值时，求△ABC的面积.

分析：本题可通过余弦定理以及基本不等式进行求解，但不能揭露出该问题的本质.根据条件固定点B,C，考虑点A的轨迹.可以发现点A的轨迹为一条直线（去掉一个点），由此可知该问题的背景为米勒问题.

解析：如图8，以点B,C所在直线为x轴，BC线段的中点O为原点建立直角坐标系.可得点B,C的坐标分别为：(-1,0)，(1,0).设点A的坐标为(x,y).根据题干条件b2-c2=8，化简可得点A的轨迹为：x=-2（y≠0）.原问题转换为在直线x=-2上找一个点A使得该点对BC的张角达到最大值，并求得此时对应的△ABC的面积.根据上文中米勒圆的背景可知：如图9，当点A为对应的米勒圆与直线x=-2的切点时，点A对BC的张角（即角A）达到最大值.结合平面几何的知识可知此时△ABC的面积为：3.

图8

图9

4 一般的圆

在一些解三角形问题中，可能没有出现明显的几何特征显示出圆，但只要我们使用轨迹的思想思考问题，会发现一些隐藏的“圆”.

例5在平面四边形ABCD中，AB=1，AC=5，BD⊥BC，BD=2BC，求AD的最小值.

分析：本题可用的解法较多，利用正、余弦定理求解难度较大，且不够直观.利用轨迹的思想则可以清晰的理解各个条件的意义.

解析：利用轨迹法求解的第一个难点在于坐标系的建立，本题中有BD⊥BC，容易想到

图10

图11

总之，在解三角形的相关问题中，除了利用方程的思想根据正、余弦定理求解外，我们还可以挖掘其内涵的几何特征.在本文中，笔者主要研究了三角形中所暗含的“圆”的性质，同理，是否有和椭圆、抛物线、双曲线相关的问题呢？请读者朋友们继续研究.