一道2020年高考数列题的证法探究

试题 设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn.（2020年高考全国Ⅲ卷理科数学）.

这道考题的第（1）问是以数列递推式为背景，求数列的通项公式问题，此问题涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富，逻辑推理性很强，具有很大的探究价值，具有很高的训练价值，具有很强的代表性，是一道训练数学思维的好题，很值得深入探究.下面给出此题第（1）问的几种证法，旨在供同仁在教学过程中作参考，旨在对同学们在学习这类问题时有所帮助和启示.

证法1（试验法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，证明如下：若an＝2n＋1，则an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3，又3an－4n＝3(2n＋1)－4n＝6n＋3－4n＝2n＋3，此 时an＋1＝3an－4n成立，所以an＝2n＋1.

证法2（数学归纳法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，证明如下：（i）当n＝1时，由an＝2n＋1知，a1＝3，符合题意，故当n＝1时，an＝2n＋1成立.（ii）假设当n＝k（k∈N*）时，an＝2n＋1成立，即ak＝2k＋1成立.则n＝k＋1时，因 为ak＋1＝3ak－4k=3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1，所 以 当n＝k＋1时，an＝2n＋1成立.由（i），（ii）可知，对于任意正整数n，an＝2n＋1成立.

证法3（正向思维迭代递推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，证 明 如 下：因 为an＋1＝3an－4n，所以a2－5＝3(a1－3)，a3－7＝3(a2－5)，a4－9＝3(a3－7),……an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)].因为a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

证法4（逆向思维迭代递推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，证明如下：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an-(2n＋1)],an-(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，……a2－5＝3(a1－3).因 为a1＝3，即a1－3＝0，所以an－(2n＋1)＝0，即an＝2n＋1.

证法5（逆向思维迭代递推法）：a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1，证明如下：因为an＋1＝3an－4n①，所 以an＝3an－1－4·(n－1)②;①-②，得an＋1－an＝3an－3an-1－4，所以an＋1－an－2＝3(an－an－1－2)，所以an－an－1－2＝3(an－1－an－2-2),……a4－a3-2＝3(a3－a2－2)，a3－a2－2＝3(a2－a1－2).因为a2－a1－2＝0，所 以an＋1－an－2＝0.于是数列{an}是首项为a1＝3，公差d＝2的等差数 列，故an＝a1＋(n－1)d，从 而an＝3＋(n－1)·2，即an＝2n＋1.

证法6（逆向思维迭代递推法）：a2＝5，a3＝7.猜 想an＝2n＋1，证 明 如 下：令bn＝an－(2n＋1)，因 为an＋1＝3an－4n，所 以bn＋1＝3bn，从而bn＋1＝3bn＝32bn－1=33bn-2=……=3n－1b2=3nb1.所 以b1＝0，故bn＝0，即an－(2n＋1)＝0，于是an＝2n＋1.

作为学生领路人的教师，一些前因后果需要我们教者从其背后去思考、挖掘，只有潜心研究高考试题，从中探究出更多潜在价值，才能在高中数学教学中高屋建瓴、有的放矢，才能确保对学生的指导方法得当、条理清楚、思路流畅.潜心研究高考试题，在寻求解法的同时，要领略考题的本质，挖掘其深刻的内涵，才能充分发挥考题的功能和作用.