基于短时傅里叶变换的跳频信号频谱感知性能分析

陈增茂， 程功， 孙志国， 孙溶辰

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

跳频信号通信频率受跳频图案控制，随时间不断改变，所以其具有出色的抗干扰性能和抗截获性能，多数应用在民用无人机上行数据链以及军用通信数据链中，因此跳频信号的频谱感知在认知无线电以及军用侦察领域应用广泛。然而多数研究集中于定频信号的频谱感知问题，对于跳频信号的研究较少，所以跳频信号感知模型的建立和理论分析是比较重要的问题。

自Mitola[1]提出认知无线电的概念，作为其核心技术，频谱感知能有效地识别授权用户信号是否存在，为次级用户接入提供先验信息，从而提高频谱利用率。Urkowitz[2]基于能量检测提出了确定性信号在高斯白噪声下的感知方法，该方法不需要任何先验信息，计算简单但受噪声影响较大，而且实际接收信号往往为不确定性信号，所以适用性并不强。Digham等[3]在上述研究基础上探究了能量检测在Rayleigh、Nakagami等多径衰落信道的感知性能，并通过组合和分集等方式来提升感知性能，但该研究仍针对确定性信号。基于接收信号的随机性与不确定性，Atapattu等[4]提出不确定性信号能量感知方法，在平坦衰落信道下得到了检测概率的数学表达式，并推导了在低信噪比下的渐进最优门限。

基于上述问题，本文针对跳频信号建立了感知数学模型，并利用了短时傅里叶变换方法，在不能同步跳频图案的情况下同时对跳点位置以及信号存在性进行感知。此外，本文在AWGN、Rayleigh和Nakagami-m3种不同衰落信道下推导了检测概率和虚警概率的理论闭环表达式，提供了跳频信号在不同衰落信道下感知的理论基础，并通过最小化误差概率得到最优门限，最终通过仿真结果验证了其正确性。

1 跳频信号频谱感知数学模型

频谱感知即一个二元假设问题，包含2个假设：假设H1为主用户信号存在，假设H0为主用户信号不存在。则接收信号y(n)的二元假设表示为：

(1)

(2)

若主用户信号x(n)为跳频信号，其离散形式数学表达式为：

x(n)=d(n)·cos[2π(f0+f′)/fs+φn]

(3)

式中：d(n)为调制信号；f0为跳频起始频率；f′=[f1,f2,…，fN](N=1,2,3，…)为跳频频率集；fs为采样率；φn为初始相位。

(4)

式中：Λ为某感知算法构造的检测统计量；λ为该算法的感知门限。因为事件i=j和事件Λ≥λ二者相互独立，所以式(4)可以展开为：

P{(Λ≥λ)|(H,γ)}f(γ)dγ

(5)

在H0假设下，由于仅存在噪声，所以信道衰落无影响，虚警概率Pf表示为：

Pf=P{(Λ≥λ)|H0}

(6)

2 基于短时傅里叶变换的跳频信号频谱感知方法

2.1 离散信号短时傅里叶变换原理

若给定信号x(t)∈L2(R)，则连续时间短时傅里叶变换定义为：

〈x(τ),g(τ-t)e-j2πft〉

(7)

式中：g(τ)为窗函数而且一般取对称函数，且‖g(τ)‖=1。

对于离散信号，若对连续信号采样时间为Δt，则式(7)又可表示为：

(8)

令x(n)=x(nΔt),w=2πfΔt，则离散形式短时傅里叶变换表示为：

(9)

对式(9)等号两端分别取平方，可得：

Sx(n,ω)

(10)

式中Sx(n,ω)称为谱图，表示信号能量的分布。

2.2 算法描述

根据式(1)中主用户信号模型及式(9)短时傅里叶变换定义可得，在H0假设下，由于仅存在噪声，所以接收信号y(n)的谱图表示为：

(11)

在H1假设下，接收信号y(n)的短时傅里叶变换表示为：

(12)

根据时频分布的能量性质，信号在固定时频区域内的能量可以表示为：

(13)

式中：[ω1,ω2]为待感知跳点频率区间；[n1,n2]为时间区间。由式(10)可知谱图为短时傅里叶变换模值的平方，所以SH1(n,ω)>SH0(n,ω)恒成立，因此E|H1>E|H0也恒成立。则可利用信号在固定时频区域的累积能量对跳点位置和存在性进行检测，其流程如图1所示。

图1 基于STFT的跳频信号频谱感知方法流程Fig.1 Diagram of spectrum sensing of frequency hopping signals based on STFT

首先对接收信号y(n)进行短时傅里叶变换，然后在固定时间区域[n1,n2],Δn=n2-n1内，分别对个跳点所在频率区域[ω2i-1,ω2i],Δω=ω2i-ω2i-1的谱图求和，设检测统计量Λ=max(Ei)，并与检测门限对比进行存在性检测，若确定信号存在，之后根据能量最大值所在频率区域确定跳点。

注意，需满足[ω2i-1,ω2i]∩[ω2i+1,ω2i+2]=Ø，这样才能保证Ei和Ei+1之间相互独立。

3 性能分析

3.1 AWGN信道下感知性能分析

在H0和H12种假设下，接收信号y(n)均服从独立高斯分布，由于短时傅里叶变换为线性变换，所以其变换结果仍服从独立高斯分布。

在H0假设下，STFTH0的数学期望和方差可分别表示为：

(14)

(15)

Pf=P{(Λ≥λ)|H0}=P{(max(Ei)≥λ)|H0}=

1-P{(max(Ei)<λ)|H0}=

(16)

(17)

在H1假设下，在非第j个跳点的时频区域内，均可视为假设，即只有第j个跳点所在时频区域内为H1假设。STFTH1的数学期望同式(14)可轻易求得为零，方差可表示为：

x(u)ω*(v)+ω(v)x*(u)+ω(u)ω*(v)]=

(18)

P1=P{(Λ≥λ)|H1}=

(19)

P2为感知出的跳点与真实跳点相符时的概率，在前文提出的算法下，其可以表述为：

PN-1{zi>0}

(20)

P2=PN-1{zi>0}=

(21)

在H1假设下，检测概率由Pd=P1P2可求得。

3.2 衰落信道下感知性能分析

虚警概率Pf与AWGN信道下相同，见式(16)。

(22)

(23)

3.3 最优门限选择

频谱感知往往通过误差概率来评价误差性能，误差概率Pe(λ)定义为：

Pe(λ)=Pf(λ)+Pmd(λ)=1+Pf(λ)-Pd(λ)=

(24)

最优门限λ*为误差概率达到最小值时的门限：

(25)

(26)

(27)

由于门限λ恒大于零，舍掉负数解，最终得到最优门限λ*表达式为：

(28)

由于假设γ≪1，则式(28)化简为：

(29)

在Nakagami-m衰落信道下，同式(25)求偏导为零时的最优门限，可得：

(30)

3.4 仿真分析

图2为仿真信源FH-BPSK信号经过短时傅里叶变换得到的谱图。仿真条件为：跳点N=8，码元速率Rb=200 bd，采样率fs=18 kHz，跳速5 ms。

图2 FH-BPSK信号的谱Fig.2 Spectrogram of FH-BPSK signals

图3为AWGN信道下概率P1与虚警概率Pf在3种不同信噪比下的理论与仿真ROC曲线。仿真条件：检测点数M=16，蒙特卡洛仿真次数5 000。其余条件上同。由图可见理论曲线和仿真曲线较好地重合，证明了理论推导的正确性。随着虚警概率Pf由0增长到1，概率P1体现出相同的变化趋势。

图3 AWGN信道下Pf与Pf的理论与仿真曲线Fig. 3 Curves of Pf and Pf of theory and simulations under AWGN channels

图4为AWGN信道下跳点检测概率P2与虚警概率Pf在不同检测点数和跳点数下的关系曲线。跳点概率P2仅仅与信噪比有关，随着信噪比的增大，概率N=8,M=32逐渐增长到1。当N=8,M=32时，信噪比取5 dB即可以0.98左右的概率水平确定跳点位置。当检测点数确定之后，跳点个数的提升也会明显降低跳点位置检测概率，但通过增加检测点数可以有效地提升P2。例如当信噪比仍取5 dB时，当检测点数为32时，跳点数为16点的概率与跳点数为8点的概率接近；而在检测点数为16时二者却相差0.15左右。

图4 AWGN信道下Pd=P1·P2与SNR的关系曲线Fig.4 Curves of Pd=P1·P2 and SNR under AWGN Channels

图5为AWGN信道下检测概率Pd=P1P2与信噪比SNR的ROC曲线。检测概率同时受2个概率的影响，最终随信噪比的增大趋近于1。在信噪比小于0 dB时，相同的检测点数下，检测概率在虚警概率水平较低时明显较低。但当信噪比大于0 dB时检测概率基本不受虚警概率影响。信噪比在0～10 dB时检测概率仍受检测点数增大而增大，在10 dB以上即处于较高信噪比水平时检测概率最终均趋近于1。

图5 AWGN信道下M=16与SNR的ROC曲线Fig.5 ROC curves of M=16 and SNR under AWGN channels

图6为当检测点数M=16且虚警概率Pf=0.1时检测概率与信噪比在3种衰落信道下的ROC曲线。在如图所示的信噪比区间(-10 dB～15 dB)，检测概率在AWGN信道的性能高于Nakgami-4衰落信道以及Rayleigh衰落信道，说明信道衰落会引起检测性能的下降。当信噪比取10 dB时，在AWGN信道下，虽然检测点数较低，但检测概率已逼近于1；在Nakagami-4衰落信道下，由于受到衰落影响，检测概率在0.85左右；而Rayleigh作为较为严重的衰落，检测概率在0.7左右，已经明显低于对于信号感知概率的标准。

图6 衰落信道下M=1 000与SNR的ROC曲线Fig.6 ROC Curves of M=1 000 and SNR of under fading channels

图7为当检测点数M=1 000且信噪比为-5 dB时误差概率Pe与经过检测点数M归一化后的门限λ的关系曲线。由图可得，随着归一化门限由小到大增长的过程，3种信道下的误差概率都会逐渐降低，然后再升高，在某一门限取值上达到最优的误差概率。在Nakagami-4和Rayleigh衰落下，最优归一化门限均在1.2左右，而AWGN信道下该门限在1.3左右；前2种衰落引起的错误概率均在0.8左右，后者引起的错误概率在0.15左右，与式(30)验证结果基本相符。

图7 衰落信道下Pe与归一化门限λ的ROC曲线Fig.7 ROC Curves of Pe and the normalized threshold λ under fading channels

4 结论

1)在对实际无线信道环境建立的3种不同衰落信道模型下，本文通过数学推导得出了检测概率和虚警概率的闭环表达式。

2)通过最小化误差概率的方法得到了最优门限求解公式，提供了跳频信号在衰落信道下感知的理论依据。

3)通过Matlab仿真工具对3种衰落信道下的概率曲线进行仿真，验证了其检测性能和理论正确性。