基于翻转课堂的比例模型教学设计探究

白 洁

辽宁大学 辽宁 沈阳 110036

基于翻转课堂的比例模型教学设计主要从教学方案、教学过程和教学效果与未来展望三个部分展开。

一、利用比例性建模的教学方案

采用“以问题为导向,以趣味为动力”的教学理念来组织利用比例性建模的教学。具体来讲：

1.教学目的。利用比例性进行建模的教学目的是：(1)掌握比例性概念和几何解释,理解比例性的关键是直线必须通过原点；(2)建立比例模型,并化简求解；(3)将理论结果应用于现实；(4)探索模型的应用和推广。

2.教学方法和模式。基于翻转课堂教学方法,采用线上线下混合教学模式,通过课前准备、课中讲授、课后反馈的教学过程,达到“兴趣驱动探索”的教学效果。

3.教学内容。利用雨课堂课件讲解比例性概念和比例性的几何解释[1]。然后课堂举例讲解比例性模型的建模过程。最后反馈教学效果并展望未来。

二、利用比例性建模的教学过程

本节课教学过程包括三个部分：课前预习,课中讲解,课后反馈。具体来讲：

1.课前预习：在授课时间前一天将比例性性概念、几何解释和四个模型以课件的形式提交到雨课堂平台,其中四个模型包括雨滴的终极速度,“骇鸟”尺寸的建模,划艇比赛的成绩,评选举重总冠军。

2.课中讲授：

(1)首先解答学生的疑问。

(2)然后指出历史上著名的比例性：虎克定律,牛顿定律,欧姆定律,波义耳定律,爱因斯坦相对论,开普勒第三定律[1]。

(3)最后以问题为导向,用趣味性带动学生主动探索,通过七个模型的讲解来拓展学生建模视野。

利用体积、面积和特征尺寸的比例关系建模原理：对事物的任何特征量l都有S∝l2,V∝l3,能够得到S∝V2/3,其中S,V分别表示事物表面积和体积。因为质量m与体积成正比,由比例性的传递规则有S∝m2/3.

模型延伸1启发学生利用雨滴终极速度模型来解释为什么可以通过雨滴落在身上的感觉来判断大雨还是小雨。经过短暂思考,有学生回答由动量守恒定律：mv=Ft,如果是小雨,则雨滴质量m比较小,雨滴终极速度v较小,而雨滴打到人身上的时间t固定,所以雨滴对人的作用力F会比较小,感觉雨滴比较轻。大雨相反。

模型延伸2[1]已知3英尺高20磅重的火烈鸟腿长2英尺,根据“骇鸟”尺寸模型,对100磅的火烈鸟的高度和腿长进行建模。

解答：如果把腿长作为特征量,由 W=kl3,当腿长为2英尺,k=20/8=2.5,则100磅火烈鸟腿长英尺；如果把高度作为特征量,由W=kl3,当高度为3英尺,k=20/27=0.7407,则100磅火烈鸟腿长英尺。

模型延伸3[2]建模说明八人艇重量级组(86kg)比轻量级组(73kg)成绩大约好5%。

解答：因为划桨功率p与浆手体重w成正比,而n=8不变,则原模型中的v∝(n/S)1/3变为v∝(w/S)1/3.所以重量级组速度vz∝(wz/Sz)1/3,轻量级组速度vq∝(wq/Sq)1/3,且比赛需用时间tz/tq=vq/vz=(wq/wz)1/3(Sz/Sq)1/3,资料显示Sz/Sq不超过1.05,代入wz=86,wq=73,可以得到tz/tq≈0.96。

例1[2].超市购物时选大包装的合理性。

模型建立 生产成本主要与质量w成正比,包装成本主要与包装表面积S成正比,则商品价格P=aw+bw2/3+c,其中c表示价格中与质量和表面积无关的成分,且a＞0,b＞0,c＞0.单位质量价格p=P/w=a+bw-1/3+cw-1.

模型解释 因为p'=(-1/3)bw-4/3-cw-2小于0,则p是w的减函数,说明大包装比小包装商品便宜；p''=(4/9)bw-7/3+2cw-3大于0,则曲线是向上凹的,说明随着包装的变大单价的减少量是逐渐下降的。所以购买大包装商品适可而止,不能过度追求。

例2[2].利用鱼的长度估计鱼的质量。

模型假设 同一种鱼的整体形状是相似的,密度大体相同。

模型构成 质量与身长的立方成正比,即m=k1l3.

模型改进 假定鱼的横截面是相似的,则m=k2d2l,其中d表示鱼身最大周长。

模型检验 利用实际数据估计k1和k2,将模型结果与实际数据比较,两个模型结果都比较满意[3]。

例3[4].汽车刹车距离：判断“2秒准则”的合理性。

模型假设 (1)刹车距离d=反应距离d1+制动距离d2；(2)d1=vt1,其中v表示车速,t1表示反应时间；(3)Fd2=mv2/2,F∝m,其中F表示刹车最大制动力,m表示汽车质量。

模型建立 由牛顿第二定律和假设(3)可知,d2=kv2,其中k为比例系数,且k=1/2a.由假设(1)和(2),d=vt1+kv2.对于t1,利用经验估计值0.75秒；对于k,利用数据拟合得到k=0.0256,则d=0.75v+0.0256v2.根据实际数据检验模型结果,与实际吻合较好[4]。

模型应用 通过计算发现,车速为0～10英里/小时,t为1秒；车速为10～40英里/小时,t为2秒；车速为40～60英里/小时,t为3秒；车速为60～80英里/小时,t为4秒,其中t表示后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志。所以“2秒准则”应该修正为“t秒准则”。

例4[1].描述汽车速率和燃油里程之间的关系。

模型假设 汽车以常速v行驶；燃油转换成能量的比例K不变；功率转换率不变；限制垂直于汽车运动方向的汽车横截面积S相同。

模型构成 首先单位时间燃烧掉的燃油的量记为Cr,由该车可利用功率与燃油转换功率成比例,有F∝CrK/v∝Cr/v,其中F表示汽车推进力。在高速公路上,常用的设计是阻力f∝Sv2,则f∝v2.由牛顿第二定律,F=f,得到Cr∝v3.定义燃油里程=距离vt/油耗Crt,所以有燃油里程∝v-2.

模型解释 汽油里程和速度的平方成反比。本模型对很多变化因素做了不变制约,而且是在限制速率的范围里的定性解释,具有很大的局限性。

3.课后反馈：留一个比例模型作为练习,通过雨课堂平台与学生进行交流。

三、利用比例性建模的教学效果与未来展望

基于翻转课堂教学方法和线上线下混合教学模式进行的比例模型教学设计,能够实现“以学生为主体”,利用问题的趣味性带动学生主动探索和建模,达到了很好的教学效果。

未来展望是融入更多的利用比例性建模的竞赛题,进一步拓展建模视野。