向量组等价的新刻画

2021-06-15 02:42康碧芳
关键词:等价刻画线性

黄 菊,康碧芳

(闽南师范大学 数学与统计学院,福建 漳州 363000)

矩阵与有限维向量组是一一对应的,且秩是刻画矩阵的不变量之一。曹青春等[1]证明了数域P 上的两个m×n 矩阵A 与B 行(列)等价当且仅当它们的行(列)向量组等价。本文利用向量组等价定义与矩阵的秩刻画向量组等价的新定理,并得到关于向量组等价的一些推论。

定义1[2-3]设向量组A:α1,α2,…,αs与B:β1,β2,…,βt是n 维列向量空间Pn的两个向量组,如果它们能够互相线性表出,则称α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价。

向量组A 能由向量组B 线性表示,即存在kij(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s),使得

即有

设矩阵K=(kij)t×s,A=(α1,α2,…,αs),B=(β1,β2,…,βt),则A=BK。

类似地,若向量组B 可由向量组A 线性表示,即存在矩阵K'=(t'ij)s×t,使得B=AK'。

定理1 设向量组A:α1,α2,…,αs与向量组B:β1,β2,…,βt是n 维列向量空间Pn的两个向量组。如果向量组A 与B 等价的充分必要条件是存在矩阵K∈Pt×s,K'∈Ps×t,使得A=BK,B=AK'充分必要条件是(rA)=(rA,B)=(rB)。

证明向量组A 与B 等价的充分必要条件是存在矩阵K∈Pt×s,K'∈Ps×t,使得A=BK,B=AK',其含义即方程AX=B,BY=A 有解的充分必要条件是(rA)=(rA,B)=(rB)。证毕。

推论1 设向量组A 与B 等价。

(1)若(rA)=s,则K'K=Es;

(2)若(rB)=t,则K'K=Et。

证明由定理1 知,存在矩阵K∈Pt×s,K'∈Ps×t,使得A=BK,B=AK'。从而有A=AK'K,即A(Es-K'K)=0,又(rA)=s,从而有K'K=Es。证毕。

推论2 设向量组A:α1,α2,…,αn与向量组B:β1,β2,…,βn是n 维列向量空间Pn的两个向量组,则向量组A与向量组B 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵K,使得A=BK。

由向量组等价定义及判断表示矩阵可逆得两个向量组等价,进而两个向量组秩相等。

例 设β1=α2+…+αr,β2=α1+α3+…+αr,…,βr=α1+α2+…+αr-1,证明:向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩。

证明方法一:依题可知,向量组β1,β2,…,βr可由向量组α1,α2,…,αr线性表出。又

从而有αi=(β1+β2+…+β)r-βi(i=1,2,…,r),故向量组α1,α2,…,αr可由向量组β1,β2,…,βr线性表出,即两个向量组等价,则两个向量组具有相同的秩。

方法二:将题意中向量组表示改成矩阵乘积,即

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