基于CEEMDAN的最优平滑降噪算法

张 荣 彬

(德州德工机械有限公司 山东 德州 253000)

0 引 言

经验模态分解类算法能将非线性、非平稳信号分解成按照频率由高到低顺序排列的固有模态函数的形式，因而当信号中含有噪声成分时利用该方法便可以有效地提取可用信息，从而达到降噪目的[1]。小波降噪在此方面已有举足轻重的地位，但由于小波方法存在基函数与分解层数的选取问题，自适应性远不如经验模态分解算法。浙江大学的曹冲锋[2]研究对比了小波方法、EMD方法、EEMD方法在机械振动信号降噪中的应用，已经证明了小波降噪虽然能抑制干扰信号。但由于算法自身的匹配性问题会造成降噪结果失真；EMD方法在处理含有噪声及脉冲干扰时，由于自身的模态混叠现象严重导致降噪不理想；EEMD降噪较小波与EMD降噪效果更佳。后有学者对经验模态分解类算法在模态混叠现象方面做了具体研究，发现EEMD仍存在一定的模态混频现象[3-4]。基于以上研究，本文提出一种利用经验模态分解类算法中EEMD的改进算法CEEMDAN，能够减小模态混叠，从而提高研究的准确性。

通常利用经验模态分解类方法进行自适应滤波时是根据固有模态函数与原始信号的波形相似度来设计滤波器的，但是该过程中缺乏对滤波器的筛选指标，这样可能会导致降噪结果存在一定的偏差。为了解决这一问题，本文提出一种基于CEEMDAN的最优平滑降噪算法，该算法可通过参数调节方式设计性能最优的滤波器。

本文将提出的最优平滑降噪算法用于转动机械噪声信号的降噪处理，对于转动机械声学故障诊断中信号的预处理起到实质性辅助作用，并通过实验验证算法在实际应用中的有效性。

1 CEEMDAN算法

EEMD算法中虽然添加了均值为零的高斯白噪声，但经过有限次添加高斯白噪声后的求平均处理并不能完全消除噪声，反而会在IMF分量中产生噪声残留，因此会导致EEMD算法完备性欠缺，使得信号的重构误差较大；每次处理中加入不同的白噪声，则会产生不同的IMF分量，且分解余量也是不同的[5-6]。EEMD的缺点可以通过增加算法集成次数来进行改善，但是这样做使得计算量激增而带来处理时间过长等新的问题。

针对EEMD算法存在以上不足，改进的CEEMDAN算法主要有以下两个优点[7]：(1) 与EEMD算法在每次分解中直接对源信号添加白噪声信号不同，该方法是在求IMF分量的每个阶段添加相对应的具有自适应性能的高斯白噪声信号，其自适应性表现在添加的高斯白噪声是经过EMD分解得到的；(2) 与EEMD算法中最后汇总求平均值得到IMF分量不同，该方法是对第一阶段处理后得到的IMF求平均值，并以此获得具有唯一性的余量，依次进行重复处理直到信号分解完毕。

改进EEMD算法的具体实现步骤如下：

(1) 假设源信号为X(t)，添加的高斯白噪声信号为n(t)，其中第i次添加的噪声记为ni(t)。定义Ek(·)是信号经EMD分解得到的第k个IMF分量，首次对源信号添加噪声后进行EMD分解得到首个IMF分量为E1(X(t)+ε0n1(t))，然后实验进行I次得到I个IMF分量，对第一阶段获得的IMF分量求平均值即可提取出总体第一个IMF分量：

(1)

式中：ε0为噪声幅值系数。

(2)

(3) 将r1(t)视为新的源信号，对r1(t)同样要加入高斯白噪声信号n(t)，此时的噪声信号是经过EMD分解得到的具有自适应性的白噪声E1(ni(t))，为了得到总体的第二个IMF分量，需要对r1(t)+E1(ni(t))实验I次求平均值：

(3)

(4) 根据前两步可以求取其他的IMF分量，即k=2,3,…,K时，第k个剩余信号与总体的第k+1个IMF分量计算如下：

(4)

(5) 按照步骤(4)依次提取IMF分量，直到最后一个剩余量不能再被分解为止，该分解终止条件符合EMD算法终止条件，则最后得到的唯一的残余量信号为:

(5)

所以，源信号可以表示为:

(6)

由此可见，改进EEMD算法将源信号分解成一系列IMF分量和唯一的余量之和，计算过程中，在求出第一阶IMF分量时，用源信号减去这一IMF分量得到剩余量，之后以此类推求取剩余量，这样就保证了每次添加的噪声信号不被带到下一次分解中，使得整个分解过程中不会有噪声的残留，这也是该算法比EEMD算法完备性好、重构误差小的原因。在每一阶IMF分量的求取过程中，添加的自适应性白噪声幅值可通过系数εk进行调整，系数εk=β0std(rk(t)),k=1,2,…,K，其中：ε0=β0std(X(t))/std(E1(ni(t)))，β0一般取0.2；std表示计算标准差。

图1给出了CEEMDAN算法的流程。

图1 CEEMDAN算法流程

2 最优平滑降噪算法基本理论

2.1 构造滤波器

利用CEEMDAN算法可将含噪信号表示成IMF分量加余量的形式，选择不同频段的IMF分量可以构造低通、高通和带通滤波器。

构造低通滤波器，表达式为:

(7)

构造高通滤波器，表达式为:

(8)

构造带通滤波器，表达式为:

(9)

式中：j为滤波器上截止参数;i为滤波器下截止参数;k为IMF分量个数(不含余量)。

2.2 滤波器筛选指标

首先需要对降噪前后信号建立算法评价指标。将均方根误差作为第一个指标，以衡量降噪信号与原始信号之间的偏差大小，计算式表示为:

(10)

均方根误差表征了降噪信号在原始信号曲线上下方向的波动程度。均方根误差越小，则表明降噪结果偏离原始信号程度越小。

考虑到降噪信号在原始信号曲线左右方向的延迟情况，定义相关误差指标作为算法的第二个指标，计算式表示为:

(11)

式中：Cov为计算协方差；D为计算方差。

根据统计学理论，ρ*的值越接近于零，则表明降噪后信号与原始信号线性相关度越好，两者波形越接近。

对于降噪后的信号，还需要其具有良好的平滑性，根据曲率与二阶导数公式可以定义曲线f(x)上x0点的平滑度指标如下[8-9]：

SI=f(x0+2h)-f(x0-2h)-

2[f(x0+h)-f(x0-h)]

(12)

式中：h为采样步长，曲线在某点的平滑度值越接近零时表明曲线在该点的弯折越小，越平缓。曲线f(x)上所有点的平滑度SI就构成了f(x)整体的平滑度，求每一个滤波器构成的曲线的平滑度，所有滤波器的平滑度组合为整个降噪算法的平滑度，记为SMSE。

以上三个降噪评价指标均是其值越接近于零时表明降噪效果越好，因此，建立最优平滑降噪算法的目标函数如下：

min{f}=min{αRMSE+βρ*+(1-α-β)SMSE}

(13)

式中：α为均方根误差指标权重系数;β为相关误差指标权重系数;1-α-β为平滑度指标权重系数。

计算目标函数时，为了使三个降噪评价指标地位相当，需要先对其进行归一化处理。在降噪过程中可以通过调节这三个参数筛选最优算法。

3 实验与结果分析

3.1 模拟信号仿真

根据转动电机启动时声音信号的特点，构造调频调幅信号x(t)如下：

x(t)=(1+0.5sin(5πt))sin(30πt2+10πt)

(14)

对调幅调频信号x(t)加上信噪比为15 dB的高斯白噪声信号与幅值为3.5、-2.5和2的脉冲信号(如图2所示)，经计算混合信号的信噪比为11.609 1 dB，对混合信号采用最优平滑降噪算法进行降噪处理。混合信号经CEEMDAN算法分解得到9个IMF分量与1个余量Rs，根据得到的固有模态函数构造低通滤波器EIMF1-EIMF9，其中EIMF1表示除去第一个IMF外构造的低通滤波器，其余降噪算法也如此表示。算法权重系数α、β和1-α-β的取值，目标函数的最小值及对应的最优平滑降噪算法如表1所示。

图2 波形图及时频谱图

表1 权重系数、目标函数f最小值及最优平滑降噪算法

根据表1中的数据可知，当算法权重系数α、β和1-α-β三个值在较大范围内变化时，构造的低通滤波器算法EIMF1-EIMF9中，算法EIMF4是最优的。其中α、β综合表征降噪信号与原始信号的相似性程度，与平滑度表征值1-α-β是相互矛盾的关系，在实际应用该最优降噪算法时，考虑三个权重系数的意义，可以折中取值。根据分析，取三个权重系数分别为(0.3，0.3，0.4)，对应的相关分析结果如图3和表2所示。

图3 算法均方根误差、相关误差、平滑度及目标函数值分布曲线

表2 算法均方根误差、相关误差、平滑度和目标函数数据

根据以上分析，EIMF4是最优的平滑降噪算法，其次是算法EIMF5和EIMF3。对EIMF3-EIMF5算法及函数值为排名第四低的EIMF6算法降噪效果进行对比，如图4所示。

图4 降噪效果对比图

图4中细的曲线是含噪原始信号的波形，粗的曲线是对应降噪后的信号波形。可以看出，EIMF4算法降噪后的波形在相似度和平滑度方面均较其他降噪算法效果好；EIMF3算法虽然曲线的相似度很高，但是在处理脉冲信号时不理想；EIMF5算法平滑性很好，但是在信号高频处相似度保持得不好，降噪过度了；EIMF6算法很明显降噪过度，效果最差。

将最优平滑降噪算法EIMF4处理前后信号的波形与时频谱进行对比，结果如图5所示。

图5 EIMF4算法降噪前后波形图及时频谱图

三种降噪算法的性能指标如表3所示。

表3 不同滤波器算法降噪效果指标对比

可以看出，滤波器算法降噪效果指标中，信噪比、相关系数越大越好，含噪信号与降噪误差比、均方根误差越小越好。因此，通过对三个降噪滤波器进行定量分析，也可得出筛选出的滤波器EIMF4的降噪性能最优。

3.2 实际信号处理

上述实验仿真案例验证了本文算法处理含噪模拟信号时，在筛选最优滤波器方面具有一定的优越性，并且能达到很好的降噪目的。下面对实际采集的转动电机声信号进行降噪处理，验证本文方法处理实际问题的可行性。

实验中电动机的额定转速为1 400 r/min，运行频率为50 Hz，电动机辐射声采样频率为44.1 kHz，采样时间为1 s。对实测信号经CEEMDAN算法分解得到11个IMF分量与一个余量Rs，根据得到的固有模态函数构造带通滤波器EIMF1-EIMF11。按照前述方法调整权重系数得到最优平滑降噪EIMF6算法，实测电机声音信号降噪前后效果如图6所示。

图6 EIMF6算法降噪前后波形图及时频谱图

可以看出，降噪后的信号波形图及时频谱图均较原始信号有了明显改善，降噪效果较好。经计算，降噪后信号与原始信号相关度为0.967 7，均方根误差为0.001 3，这说明本文方法针对实际转动机械声音信号降噪处理效果良好。

4 结 语

本文提出一种基于CEEMDAN算法的最优平滑降噪算法，给出算法的具体实现过程，并通过模拟信号与实际信号对本文算法进行实验验证。实验结果表明本文算法的有效性，解决了利用模态分解类算法进行自适应滤波时滤波器缺乏筛选指标的问题，从而进一步降低了该类算法的降噪偏差。同时以转动机械声音信号为研究对象，为转动机械声学故障诊断提供帮助。