基于PID算法的单旋翼垂直起降系统的建模与仿真

谭 奥 陈再辉 刘沛尧 夏金康 陈 臣 陈凯文

(河南科技大学,河南 洛阳471003)

目前,无人机已广泛应用于军事侦察、高空摄影、农林植保、电力巡检等诸多领域,其中,四旋翼无人机凭借结构简单、机身轻巧、飞行灵活等优势备受关注。而单旋翼垂直起降系统是四旋翼无人机的基础控制系统。所以本文将通过Matlab建模仿真,探索单旋翼垂直起降控制系统的最优控制方案。

1 数学建模

电机螺旋桨悬臂构成了一组具有一定质量的机械系统,能够在拉力的作用下绕中心上下转动,为了简化分析,忽略悬臂质量和摩擦力。设l为悬臂长度,m为电机质量,θ为悬臂角度,f为螺旋桨拉力,u为电机电压,如图1所示。

图1 受力分析图

已知电机电压和转速的简化数学模型为一阶线性微分方程,而工作点附近螺旋桨拉力和电机转速成正比。则在切线方向上的运动方程由牛顿第二定律可以得到:

由(1)式可得到角度和电压的关系:

在matlab Simulink搭建电机螺旋桨悬臂模型,选取参数后进行仿真。探究电机螺旋桨悬臂自身固有变量参数对模型的性能影响分析,进而对电机、悬臂的选用提供理论基础。

2 参数辨识

2.1 螺旋桨悬臂系统传递函数的建立

由所建模型可得螺旋桨升力与电机电压的传递函数:

方程(1)中存在难以分析的非线性项,则可以使用微小偏差法对其在某个特定的工作点附近进行线性化处理,得到其最后的传递函数为:

悬臂系统为三阶系统,有3个极点p1、p2、p3,如果电机的反应速度非常快,远快于悬臂的反应速度,也就是说对应的极点远离虚轴,其它两个极点是主导极点。综合公式(3)和(4)则可以简化为二阶系统为:

2.2 阶跃响应辨识模型参数

搭建一简易电机螺旋桨悬臂,以51单片机为控制器,进行单位阶跃响应实验。在工作电压2V上施加一个 ΔU=0.2 V电压增量,记录角度 θ随时间的变化情况,然后利用Matlab的系统辨识工具辨识悬臂系统模型的传递函数参数,拟合曲线如图2所示。

图2 电机螺旋桨悬臂模型拟合曲线

图中黄色代表三阶系统,拟合度为92.6%;

图中红色为二阶系统,拟合度为86.7%;

3 控制系统的设计仿真

3.1 PID的基本控制方法

通过持续不断的调节,系统最终能够自动找到某个合适的控制指令,此时螺旋桨以某个速度旋转,产生的拉力恰好与重力平衡,使悬臂停留在设定位置上,流程图如图3所示。

图3 闭环负反馈控制器流程图

PID控制算法作为工业控制实践中最常见的控制算法。控制器是由比例单元、积分单元及微分单元组成,包括Kp、Ki和Kd三个需要设定的系数。即:

而一个控制系统的基本要求是稳定、准确、快速。PD控制中的比例项能够减小偏差,微分项能够减小偏差的变化速度、抑制振荡。PI调节器主要用于改善系统的稳态性能。通过仿真可以得到Kp、Ki和Kd对控制器性能参数的影响。

3.2 综合校正

电机悬臂控制系统中,Gmp(s)作为被控对象的传递函数,控制器Gc(s)被称为校正环节。输入是期望角度,输出是实际角度。则可以得到经过校正后的闭环系统传递函数为:

设计控制器使闭环系统单位阶跃响应满足下列性能指标:

(1)上升时间小于0.5 s;

(2)稳态误差小于5%;

(3)幅值裕量大于20dB;

(4)相位裕量大于40°。

第一条代表了快速性,第二条代表快速性,第三、四条代表稳定性。利用Matlab中的“Contral System Design”对控制系统进行校正,使控制器满足给定的性能要求,校正结果如图4所示。

图4 校正设计结果

最终设计出的控制器由一个积分环节、两个超前校正环节构成。即:

闭环系统性能完全满足给定要求:

(1)上升时间0.12 s;

(2)稳态误差0%;

(3)幅值裕量31.8 dB;

(4)相位裕量69.8°。

4 结论

4.1 电机螺旋桨悬臂是一个三阶系统,若电机反应速度很快,即电压能迅速控制螺旋桨拉力,系统就可以进一步简化为二阶系统,通过阶跃响应实验可以得到其传递函数模型。

4.2 从时间的角度考虑,比例作用主要是针对当前系统误差进行控制,积分作用则针对系统误差进行记忆,提高系统的无差度,而微分作用则反映了系统误差的变化趋势,这三者的组合PID则是“过去、现在、未来”的完美结合。

4.3 对控制系统进行综合校正,可以达到设定的性能要求。