简述多元函数条件极值的求法

辛小青

(内蒙古科技大学包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头014030)

在实际生活中,我们会遇到附加条件的多元函数的最值问题,即函数的自变量除了要满足在定义域内的条件还需满足相应的某一条件,例如:容积一定的长方体箱子材料最省的问题,设长方体的长、宽、高分别为x,y,h,容积V=abh一定,确定长方体的长、宽、高,使得在体积V=abh一定的情况下表面积S=2xy+2xh+2yh材料最省,这种另加条件的极值就叫做条件极值。

下面给出条件极值的两种基本求法:

方法(一):是利用在数学分析中学到的知识想办法将条件极值转化为无条件极值进行求解,即先由条件φ(x,y)=0求出y=ψ(x),然后将其带入到z=f(x,y)中得到z=f[x,ψ(x)],再去求无条件极值。

方法(二):是利用拉格朗日乘数法求条件极值的问题,即把条件极值问题,归结为对于拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)求无条件极值的问题(拉格朗日乘数法求极值在下文中会进行详细论述)。

特别注意:由于拉格朗日乘数法是条件极值存在的必要条件,因此我们求到的点是可能存在极值的点,然后我们要继续依据定义或实际意义来判断所求得的点是不是条件极值点。

1 代入消元法

我们可以用一个量替换另一个量来达到降元的效果,这种替换变量的方法在数学领域内称之为代入消元法,例如上面提出的问题就可以用消元法来解答。代入消元法能够实现降元的目的,而且我们能够把条件极值变成求解无条件极值,这样相对来说就能够让解题更为顺畅和简便。不过这种办法也是有局限性的,我们应该看到这种方法更合适那些简单的约束函数,而且要求能够进行替代,但很多时候是不能够替代的。

例1求函数f(x,y,z)=xyz在x-y+z=0条件下的一切驻点和驻点处的函数值,如果有极值,然后继续判断是哪种极值。

解:由x-y+z=0解得,z=2-x+y,

将上式代入函数f(x,y,z)得g(x,y)=xy(2-x+y),

所以g'x=2y-2xy+y2,g'y=2x-2xy-x2,

2 拉格朗日乘数法

用全微分进行判断与求解:

设函数u=f(x,y,z),在点P0(x0,y0,z0)处df(x0,y0,z0)=0,

如果d2f(x0,y0,z0)<0,则函数在P0处取得最大值；

如果d2f(x0,y0,z0)>0,则函数在P0处取得最小值；

如果既不大于0也不小于0,则不能判定有没有极值。

如果求函数f(x,y,z)在g(x,y,z)=0条件下的极值,可先构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z),其中λ为参数。求F(x,y,z)对x,y和z的一阶偏导数,令它们等于零,并与附加条件联立,即

由上述方程组解出x,y,z,λ,如此求得的(x,y,z),就是函数u=f(x,y,z)在附加条件g(x,y,z)=0下的可能极值点。

在求解方程组之后得出驻点,我们就可以利用F(x,y,z)二阶微分d2F符号(在驻点处),然后继续判定在求得的驻点处函数f(x,y,z)是不是能取到极值。

拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法,特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用。

拉格朗日乘数法的推广:

F(x1,x2,…xn)在φk(x1,x2,…xn)=0,(k=1,2,…,m,m≤n)下的极值,如果说f(x1,x2,…xn)和φk(x1,x2,…xn)都存在偏导,而且都连续,且

以m为秩,那么我们就能够采取拉格朗日乘数法。

首先,构造拉格朗日函数

这样我们就能够得到驻点Pi(x10,x20,…xn0)(i=1,2,…,k),从而可以进行下面的判断,看驻点到底是不是我们要找的极值点。

命题:设点x0=(x10,x20,…xn0)及m个常数λ1,λ2,…,λm

3 梯度法

设函数f是Rn中的一个实函数,P0=(x10,x20,…xn0)是它定义域内的一点,若存在点P0的某个邻域U(P0,δ)内连续,在U(P0,δ)内可微,且对U(P0,δ)内的任意一点P(x1,x2,…,xn),记△(P0,P)=(x1-x10,x2-x20,…,xn-x0n)·▽f(P)如果在U(P0,δ)内:

(1)△(P0,P)恒正时,f(P0)是一个极小值；

(2)△(P0,P)恒负时,f(P0)是一个极大值；

(3)△(P0,P)有正有负时,则P0不是f的极值点。

例3求函数f(x,y,z)=2x2+3y2+z2+8x-12y-2z在点P0(-2,2,1)的极值

=(x+ 2)(4x+8) +(y- 2)(6y-1 2) +(z- 1)(2z-2)

显然,对于任意的δ>0,当P∊U(P0,δ)时,恒有△(P0,P)>0,所以函数在点P0处取得极小值f(-2,2,1)=-21。

4 不等式法

4.1 利用均值不等

≥ 9(3 +2 +2 + 2) =81

当且仅当x=y=z=9时,等号成立。

4.2 利用柯西不等式

柯西不等式:a1,a2,…,an与b1,b2,…bn,一定能够满足(a1b1+a2b2+…+anbn2)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)ai∊R,bi∊R,能够取等的时候只有a1,a2,…,an和b1,b2,…bn成比例。我们在使用的时候需要变形函数,使其能够满足形式,这样我们才能够运用这个公式。

例5已知(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2=9,求f(x,y,z)=2x-2y+z的最值。

解 首先将f(x,y,z)=2x-2y+z变形为f(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4)+10；再设g(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4),于是,根据柯西不等式及已知条件,有

条件极值基本的解题思路有:(1)将条件极值化为无条件极值,然后利用代入消元法进行；(2)利用已有变量将其构造成拉格朗日函数,再进一步进行求解。