基于Drucker-Prager准则的水泥土统计损伤本构模型

李树林 陈平奥 李 国

(1.贵州省交通规划勘察设计研究院股份有限公司 贵阳 550081； 2.乐清市住房和城乡建设局 乐清 325600)

水泥土广泛应用于高速公路地基处理、防治冻胀融沉、基坑支护、堤坝截渗等方面，其应力-应变关系尤其是无侧限抗压强度对指导水泥土设计与施工具有重要意义。为探究水泥土本构模型，许多学者进行了卓有成效的研究。童小东等[1]通过进行试验，研究了水泥土的损伤机制，得到了应力-应变、损伤变量等之间的关系曲线；薛慧君等[2]进行水泥土无侧限抗压强度试验研究，通过拟合应力-应变关系曲线建立水泥土本构模型；陈四利等[3]对水泥土在饱水情形下进行宏观、细观破裂过程试验研究，提出了相应的损伤本构模型。从研究可以看出，曹文贵等[4-5]在岩石本构模型中引入的统计损伤理论，不仅是岩石变形过程模拟最成功的方法之一，而且也在水泥土本构模型研究中取得了良好的成果。吴中俊[6]和陈鑫等[7]均基于不同的强度准则建立了水泥土统计损伤本构模型，准确度量水泥土微元强度是水泥土统计损伤本构模型建立的关键之一。

为此，本文将在上述研究的基础上，基于统计损伤理论，引入在岩石统计损伤本构模型中应用广泛且成效良好的Drucker-Prager准则来描述水泥土微元强度，探讨水泥土应力-应变关系，使其更符合实际，以期完善水泥土本构关系的研究内容与方法。

1 水泥土统计损伤本构模型

现有研究已表明，基于统计损伤理论的水泥土本构模型方法可行，因此本文仍沿用该方法探讨水泥土本构模型。依据Lemaitre应变等价性理论，可得

(1)

假定水泥土未损伤部分应力-应变关系服从虎克定律，且水泥土损伤部分与未损伤部分始终紧密结合，即

σi=(1-D)Eεi

(2)

式中：E为水泥土弹性模量；εi为应变。

式(2)即为水泥土本构模型，由此可以看出为利用该模型确定水泥土应力-应变关系，关键在于损伤变量D确定。

2 模型参数确定方法

受水泥土材料特性及其在固化过程中的各种影响因素如温度等的影响，不可避免地其内部含有孔隙、裂缝等各种缺陷，这些缺陷具有极大的不均匀性，假设水泥土微元强度服从Weibull分布，这一假设在水泥土本构模型研究中已经证明切实可行，于是，损伤变量D可以表示为

D=1-exp[-(F/F0)m]

(3)

式中：m和F0为水泥土微元强度分布参数；F为水泥土微元强度。

因此，由式(3)可见，水泥土微元强度F的准确度量及水泥土微元强度分布参数m和F0的求解是确定损伤变量D的关键。

2.1 基于Drucker-Prager准则的水泥土微元强度

为使所建立本构模型更符合实际，与文献[6]以轴向应变衡量水泥土微元强度不同，本文引入广泛应用的Drucker-Prager准则[8]度量水泥土微元强度，其计算方法见式(4)～(7)。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：c为黏聚力；φ为内摩擦角。

对于水泥土无侧限抗压强度试验，σ2=σ3=0，因此可得

I1=Eε1

(8)

(9)

将式(8)、(9)带入式(4)，可得单轴压缩条件下水泥土微元强度

(10)

2.2 损伤变量分布参数m和F0的确定方法

为确定参数m和F0，可依据水泥土应力-应变曲线峰值点特性，即该点应力-应变符合本构关系，且同时该点为曲线极值点，即

(11)

式中：σsc为峰值应力；εsc为峰值应变。

国家电网于2015年提出了全球能源互联网发展构想,认为全球能源互联网以智能电网、特高压、清洁能源、全球视野为基本要素,将由跨国跨洲骨干网架和涵盖各国各电压等级电网的国家泛在智能电网组成,经过洲内互联、跨洲互联、全球互联3个阶段,各层级电网协调发展,坚持清洁发展和全球配置2个基本原则,具备网架坚强、广泛互联、高度智能、开放互动4个重要特征,实现能源传输、资源配置、市场交易、产业带动和公共服务5个主要功能[2]。

将式(2)带入式(11)可得

(12)

式中：Dsc为峰值点对应损伤变量。

由式(10)可得

(13)

由式(3)可得

(14)

由式(3)化简可得

exp[-(F/F0)m]=1-D

(15)

(16)

将式(13)、(15)、(16)带入式(14)，得

(17)

将式(17)带入式(12)，可得m确定方法。

(18)

(19)

(20)

将式(18)带入式(3)，可得F0确定方法。

(21)

3 实例分析

为验证本文所建立的基于Drucker-Prager准则的水泥土统计损伤本构模型的合理性与可行性，引入文献[2]中水泥土单轴压缩试验，对本文模型进行研究与分析。试验资料给出了不同水泥掺量及龄期的水泥土弹性模量，本文模型参数确定步骤如下。

1) 通过拟合得出c、φ。

2) 由式(19)(20)计算得出Fsc和Dsc。

3) 将Fsc和Dsc带入式(18)，计算得出本构模型参数m的值。

4) 将Fsc、Dsc和m带入式(21)，计算得出本构模型参数F0的值。至此，本构模型已确定。各参数结果见表1。

表1 水泥土本构模型参数

实测应力-应变值与理论应力-应变曲线见图1。

图1 实测应力-应变值与理论应力-应变曲线

由图1可见，各龄期与水泥掺量的水泥土应力-应变关系实测值与本文方法理论计算值在应力-应变曲线前段十分接近，而本文理论对水泥土应力-应变曲线的应变软化现象的反映存在一定偏差，有待于进一步研究。图2为损伤变量随应变变化趋势，随着应变的不断增加，水泥土内部损伤不断加剧，直至完全损伤。

图2 损伤变量与应变关系

4 结论

1) 引入统计损伤理论，假设水泥土微元强度服从双参数Weibull分布，并且提出基于Drucker-Prager准则度量水泥土微元强度，建立了基于Drucker-Prager准则的水泥土统计损伤本构模型。

2) 由水泥土应力-应变曲线特点，峰值点应力-应变服从本构模型且该处导数为0，给出了模型参数确定方法。

3) 通过与水泥土单轴压缩试验对比，验证了本文水泥土统计损伤模型的合理性与可行性。