双正弦激励下悬架系统的混沌特性分析

张黎

（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）

0 引言

汽车悬架系统作为车身、车架和车轮之间的连接结构，在汽车行驶时会因地面的变化而受到振动及冲击，这些冲击的力量其中一部份会由轮胎吸收，但绝大部分是依靠轮胎与车身间的悬架装置来吸收的。如今，国内外学者转向非线性动力系统混沌现象的研究[1-2]。对于汽车悬架这样复杂的非线性系统，其非线性因素在一定激励、载荷及频域下会出现很大变化。由于非线性系统的多值性等，造成该系统容易产生混沌等复杂的非线性动力学行为。研究汽车悬架这类复杂的非线性系统，并进行建模仿真，分析其非线性动力学行为可能出现的混沌现象，可为悬架系统的设计及结构优化提供重要的理论基础。

近些年，越来越多的学者关注汽车非线性悬架系统混沌特性的研究。如文献[3-6]在单频正弦激励下，通过变化的激励幅值、频率及悬架性能参数研究悬架系统的混沌运动；文献[7-9]在双频激励下研究汽车悬架系统的混沌运动，并采用追踪控制或小波函数控制等方法将该悬架系统的混沌运动控制在周期范围内；文献[10-12]在不同的路面不平度激励幅值及频率作用下，汽车单自由度悬架系统的随机响应，计算混沌参数研究悬架系统的混沌运动。

本文以路面双频拟周期为激励，建立非线性的单自由度汽车悬架模型，通过数值仿真计算，得到汽车悬架振动的时间历程曲线、功率谱密度图形和Poincaré 截面，从理论上给出了悬架振动发生混沌的可能性。同时，通过动态K&C 试验平台进行整车试验，获取汽车轮心处的振动曲线，并计算最大 Lyapunov 指数等混沌参数，从而验证汽车悬架系统具有混沌特性。

1 汽车悬架的力学模型和运动微分方程

1.1 悬架系统力学模型

本文仅从汽车悬架系统平顺性方面研究。假设汽车关于轴线左右对称，将汽车简化为单自由度1/4 悬架模型，忽略轮胎的弹性和质量，如图1 所示。图中M——车身质量，x0——路面激励，x——车身位移，F——非线性阻尼力，k1——车体刚度系数。

图1 单自由度1/4 悬架模型Fig.1 Single-degree-of-freedom 1/4 suspension model

给定双频逆周期路面激励，由牛顿定律得到系统的运动微分方程：

令y=x-x0；路面激励为双频正弦激励x0=A1sinφ1τ+A2sinφ2τ；φ1，φ2不可有理通约；非线性阻尼力其中，k2——非线性刚度系数，c1——线性阻尼系数，c2——非线性阻尼系数。

则式（1）为：

1.2 悬架系统仿真模型

MATLAB 提供的Similink 工具箱可对动态系统进行建模、仿真和分析。根据上述非线性微分方程，建立如图2 所示的单自由度非线性悬架系统仿真框图。

图2 单自由度非线性悬架系统的仿真框图Fig.2 Simulation block diagram of single-degree-offreedom nonlinear suspension system

综合以下几个方面，判断该单自由度1/4 悬架系统是否出现混沌运动：（1）系统的时域响应，观察系统响应对初值的敏感程度；（2）系统的相轨迹，通过计算，观察系统相图构成；（3）对于Poincaré 截面，通过观察该截面图中相点的情况判断是否发生混沌。当截面图中出现少数的离散点或形成闭合圆环时，则系统运动是周期或拟周期的；若截面图中由一片无规则的密集点构成，则系统运动可能是混沌运动；（4）对于系统的功率谱，若谱线是连续的，则悬架系统可能出现混沌运动；（5）李雅普诺夫指数（Lyapunov）。计算系统响应数据的Lyapunov 值是否大于0，若值为正，说明无论距离多近的不同初始轨迹线，在经过一段时间演化后，会出现无法预测的差别，即混沌现象。

2 悬架系统的数值仿真及数据处理

2.1 悬架系统参数及仿真设置

设悬架系统参数M=300 kg，k1=160 000 N/m3，k2=180 000 N/m3，c1=250 N·s/m，c2=-25 N·s3/m3，φ1=7.8 rad/s，φ2=20+10rad/s，选取初始条件为y（0）=-0.001，y（0）=0，时间步长取0.015 s，激励幅值A1=A2分别取0.010，0.020，0.0250，0.030，0.032，用4 阶定步长Runge-Kutta 法对式（2）进行数值积分。

2.2 悬架仿真数据处理

分别计算出不同幅值激励下系统的时域响应、相轨迹、Poincaré 截面图、功率谱，如图3—图7 所示。

图3 激励幅值A1=A2=0.01 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.3 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

图4 激励幅值A1=A2=0.02 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.4 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.02 m

图5 激励幅值A1=A2=0.025 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.5 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

图6 激励幅值A1=A2=0.03 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.6 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.03 m

图7 激励幅值A1=A2=0.032 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.7 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.032 m

通过计算最大Lyapunov 指数得到表1。

表1 不同激励幅值下最大 Lyapunov 指数值Tab.1 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

根据各激励幅值下的Poincaré 截面、功率谱及最大Lyapunov 指数值，有以下分析：当激励幅值A1=A2=0.01 时，Poincaré截面整体为一种闭合环，功率谱是离散的频率谱线构成，最大Lyapunov 值为负，则系统作周期运动；当激励幅值A1=A2=0.02 时，Poincaré 截面整体为一种闭合环，功率谱是离散的频率谱线构成，最大Lyapunov 值为0，则系统作拟周期运动；当激励幅值A1=A2=0.025 时，Poincaré 截面整体为一种闭合环，功率谱是多个离散的频率谱线构成，最大Lyapunov 值基本为0，则系统作拟周期运动；当激励幅值A1=A2=0.03 时，Poincaré 截面闭合环

开始破裂，功率谱中的频率谱线开始呈连续分布，最大Lyapunov 值为正，则系统开始作混沌运动；当激励幅值A1=A2=0.032 时，Poincaré 截面闭合环完全破裂由无限多个离散点构成，功率谱中的频率谱线呈连续分布，最大Lyapunov 值为正，则系统作混沌运动。

3 整车试验

对悬架进行试验时采用整车试验方法，如图8 所示。车身固定地面，前轴放置动态K&C 试验台架上，通过控制平台给整车输入双频激励，由于动态K&C试验台架激励频率与幅值的限制，需降低悬架仿真试验时的激励幅值，获取不同幅值下轮心垂向位移的时域响应等振动曲线。

图8 整车试验安装Fig.8 Test installation of the whole vehicle

对实测的整车悬架振动曲线，将该曲线时间序列数据进行离散处理，然后进行相空间重构获得延迟时间及最小嵌入维数，最后通过小数据法计算求得最大Lyapunov 值。

3.1 实车振动激励数据处理

对实车振动试验数据进行分析处理，得图9—图11。

图9 激励幅值0.01 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.9 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

图10 激励幅值0.025 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.10 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

图11 激励幅值0.028 m 时系统各参数曲线和图谱Fig.11 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.028 m

计算实车试验数据的最大Lyapunov 指数得到表2。

表2 不同激励幅值下最大 Lyapunov 指数值Tab.2 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

由上述整车试验数据分析知，随着激励幅值不断增加，Poincaré 截面由少数的点构成的圆环逐渐成为充满相空间的一部分，结合最大Lyapunov 指数由（λ=-0.002 136 7<0），变成（λ=0.016 6>0），可判断悬架系统的运动由周期运动转变为混沌运动。

4 结语

本文采用数值分析法，对单自由度1/4 非线性悬架模型在双频拟周期激励下进行混沌特性研究法分析，通过求解非线性悬架模型，分析其时域响应、相位图、Poincaré 截面、功率谱及计算最大Lyapunov 值确定该非线性悬架系统有进入混沌运动状态的可能，大致确定悬架系统进入混沌状态的激励幅值，并在动态K&C 试验台架进行整车悬架系统的振动试验，验证了实车悬架系统极可能从周期运动进入到混沌运动状态，为汽车悬架系统的设计及改进提供了依据。