多自由度非线性悬架系统混沌特性

叶宇翔，张翔

（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）

0 引言

悬架系统作为缓冲和吸收振动的主要构件，其性能的好坏会严重影响到汽车的平顺性[1]。悬架系统具有较强的非线性，汽车悬架的非线性因素一般集中在悬架弹簧、阻尼及轮胎上[2]，而非线性因素在特定的激励幅值和激励频率下会产生巨大的变化，进而对非线性系统运动学特征产生较大的影响。Wu[3]等建立了包括驾驶员模型在内的整车八自由度模型，在正弦路面激励下，通过分析非线性系统的庞加莱（Poincaré）截面和最大Lyapunov 指数，证明非线性系统存在混沌现象。

本文推导出整车七自由度动力学微分方程，考虑悬架弹簧、阻尼的非线性，利用MATLAB/Simulink 建立仿真模型，在正弦路面激励下，用4 阶Runge-Kutta 法对整车模型进行仿真分析[5]。通过分析庞加莱（Poincaré）截面和Lyapunov指数，发现悬架系统的运动状态随着路面的变化，在周期状态、倍周期状态和混沌状态之间多次变迁。

1 整车非线性系统搭建

如图1 所示，模型考虑了车身的垂向振动、俯仰、侧倾3 个自由度，4 个车轮垂向的4 个自由度[4]，建立整车七自由度数学模型。

图1 七自由度整车模型Fig.1 7-DOF vehicle model

1.1 非线性悬架系统搭建

悬架系统的非线性弹簧力和阻尼力表示为

式中：ki1，ki2，ki3——悬架系统刚度系数；——悬架系统阻尼系数；——悬架拉伸行程阻尼系数；——悬架压缩行程阻尼系数；ΔZsi——悬架系统的动行程；——动行程变化的相对速度。

式中：df——前轮轮距的一半；dr——后轮轮距的一半；l1——前轴至车辆质心的距离；l2——后轴至车辆质心的距离；Zb——车身的垂向位移；θ——车身俯仰角；φ——车身侧倾角。

将车轮进行线性化处理，作用在车轮上的地面反作用力为

式中：kti——车轮刚度；qi——车轮接地面的垂向位移。Zti——轮心处的垂向位移。

1.2 汽车整车数学模型

根据牛顿运动定律，建立整车运动学方程：

式中：mb——车身质量；m1——左前轮质量；m2——左后轮质量；m3——右前轮质量；m4——右后轮质量；Iθ——车身俯仰转动惯量；Iφ——车身侧倾转动惯量。

1.3 路面激励

采用正弦路面激励，只考虑前后车轮的相角延迟，不考虑路面激励幅值的影响，公式如下：

式中：A——路面激励幅值；f ——路面激励频率；α——前后轮激励相角延迟。

2 系统的仿真模型

2.1 车辆在垂向激励下的混沌分析

在不同路面激励频率下，非线性因素会产生巨大的变化，因而影响车身垂向位移和车轮垂向位移。激励振幅为0.005 m，激励频率1～20 Hz，采用龙格库塔法对模型进行求解[6]。考虑相角延迟为α=49π/180，将不同频率下的车辆悬架特性参数输入Simulink 仿真模型中，以激励频率、庞加莱（Poincaré）截面为横纵坐标，绘制车身垂向位移分岔图、车轮垂向位移分岔图，如图2 所示。

图2 车辆模型频率分岔图Fig.2 Vehicle model frequency bifurcation diagram

从图2 中可以看出，当f=9 Hz 时，出现分形现象，系统运动状态出现突变，可能出现混沌运动；当f=11～14 Hz 时，分岔图中庞加莱（Poincaré）截面点数变多，可能是混沌状态；当f=15～17 Hz 时，庞加莱（Poincaré）截面点数减少，系统趋于稳定，可能再次进入周期运动。分析结果表明，路面激励频率不同会导致悬架系统的运动状态发生改变。根据上述非线性系统仿真分析，选取5，9，14，17 Hz 的路面激励频率进行深入研究。

2.2 混沌现象分析

混沌运动对初值较为敏感，易产生随机性的非周期运动，且不可预测。选取5，9，14，17 Hz激励频率下，分析车身垂向位移的时域信号、相轨迹、庞加莱（Poincaré）截面、功率谱和最大Lyapunov 指数。

（1）第1 组（f=5 Hz）

由图3 所示，时间历程图稳定具有较强规律性，相轨迹表现为大量圆环叠加，庞加莱（Poincaré）截面形成封闭的圆环，此时最大Lyapunov 指数为-0.598 2。由混沌识别方法可知，该七自由度车辆系统呈现周期运动。

图3 f=5 Hz 时系统各参数曲线和图谱Fig.3 System parameter curve and graph (f=5 Hz)

（2）第2 组（f=9 Hz）

由图4 所示，时间历程较稳定但开始出现不规律变化，相轨迹表现为大量圆环叠加，庞加莱（Poincaré）截面形成多个封闭的圆环，功率谱开始出现连续趋势但有明显的尖峰，此时最大Lyapunov 指数为0。由混沌识别方法可知，该七自由度车辆系统呈现倍周期运动。

图4 f=9 Hz 时系统各参数曲线和图谱Fig.4 System parameter curve and graph (f=9 Hz)

（3）第3 组（f=14 Hz）

由图5 所示，时间历程图不规律，相轨迹不重复且杂乱无章，庞加莱（Poincaré）截面出现大量密集的点，功率谱呈现出连续现象，此时最大Lyapunov指数为0.534 6。由混沌识别方法可知，该七自由度车辆系统处于混沌运动状态。

图5 f=14 Hz 时系统各参数曲线和图谱Fig.5 System parameter curve and graph (f=14 Hz)

（4）第4 组（f=17 Hz）

由图6 所示，时间历程图稳定，相轨迹出现上下不同圆环，庞加莱（Poincaré）截面近似形成封闭的圆环，功率谱开始出现不连续趋势。由混沌识别方法可知，该七自由度车辆系统由混沌运动向周期运动状态过渡。

图6 f=17 Hz 时系统各参数曲线和图谱Fig.6 System parameter curve and graph (f=17 Hz)

3 结语

本文采用数值分析法，对整车七自由度仿真模型在正弦路面激励下进行混沌特性研究分析。通过分岔图、相轨迹、庞加莱（Poincaré）截面、功率谱及计算最大Lyapunov 指数，判断非线性悬架系统是否能够进入混沌状态，大致确定了悬架系统进入混沌状态的临界条件，并发现系统运动状态随着非线性因素改变，会发生运动状态的变迁。考虑到车辆系统运动状态的复杂性，且在特定情况下极可能从周期运动演变为混沌运动，本研究可为悬架系统的设计和改进提供理论参考。